[SS] Fourier Transform of Complex Exponential Function

complex exponential func. 의 곱은 freq. domain에서 shifting으로 나타남.

Note:

Time domain에서의 Complex Exponential Function의 곱(product)이
Frequency domain에서는 shift로 나타남. : Frequency Shifting.

 

다음과 같은 Complex Exponential Function의 Fourier Transform을 수행.

$$e^{-j\Omega_0t}$$

 

Fourier Transform을 수행하면 다음과 같음.

 

$$\begin {align*} \int^\infty_{-\infty} e^{-j\Omega_0 t} e^{-j\Omega t} \text{d}t &= \int^{\infty}_{-\infty} e ^{-j(\Omega_0+\Omega)t}\text{d}t\\ \quad &= \int^{\infty}_{-\infty}1\cdot e ^{-j(\Omega+\Omega_0)t} \text{d}t \end {align*}$$

$\Omega+\Omega_0$를 $\Omega_\text{new}$로 치환하면, 크기가 1인 DC signal에 대한 Fourier Transform임.

1에 대한 FT는 $2\pi\delta(\Omega)$임을 이용하면, 위의 식은 다음과 같이 됨.

 

$$\begin {align*} \int^\infty_{-\infty} e^{-j\Omega_0 t} e^{-j\Omega t} \text{d}t &= \int^{\infty}_{-\infty}1\cdot e ^{-j(\Omega_0+\Omega)t} \text{d}t \\ \quad &= \int^{\infty}_{-\infty}1\cdot e ^{-j\Omega_{new}t} \text{d}t \\ \quad &= 2\pi \delta (\Omega_{new}) \\ \quad &= 2\pi \delta (\Omega_0+\Omega) \\ \\ \therefore FT\left[e^{-j\Omega_0t}\right] &= 2\pi \delta (\Omega_0+\Omega) \end {align*}$$

이는 Fourier Transform의 Frequency Shifting 를 이해하는데 필요함.

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참고

 

2023.10.13 - [.../Signals and Systems] - [SS] A Short Table : Fourier Transform

[SS] A Short Table : Fourier Transform