[SS] Scaling Property (and Zero-Interpolation): Fourier Transform

0. Continuous Signal: Time Scaling

$$x(t) \leftrightarrow X(\Omega) \\ y(t)=x(at) \\ Y(\Omega) = \frac{1}{|a|}X\left( \frac{\Omega}{a} \right)$$

• Compression: $|a|>1$ / Expansion $|a|<1$
• Time domain 에서의 compression은 Freq. domain 에서의 Expansion, Vice Versa

주의할 점은 Continuous에서는 signal의 밀도가 바뀌기 때문에 $\frac{1}{|a|}$로의 magnification이 발생함.

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0-0. 증명

Case: $a>0$

$$\begin{aligned}\int^\infty_{t=-\infty}e^{-j\Omega t} dt &= \int^\infty_{s=-\infty} x(s) e^{-j \Omega \frac{s}{a}} d\frac{s}{a} & ,s=at \\ &= \int^\infty_{s=-\infty} x(s) e^{-j \Omega \frac{s}{a}} \frac{1}{a} ds &  \\ &=\frac{1}{a} \int^\infty_{s=-\infty} x(s) e^{-j \Omega \frac{s}{a}}  ds & \\ &= \frac{1}{a} X \left(\frac{\Omega}{a}\right) & \end{aligned}$$

 

Case: $a<0$

$$\begin{aligned} \int^\infty_{t=-\infty}e^{-j\Omega t} dt &= \int^{\color{red}{-\infty}\color{black}{}}_{\color{red}{s=\infty}\color{black}{}} x(s) e^{-j \Omega \frac{s}{a}} d\frac{s}{a} & ,s=at \\&= \int^{\color{red}{\infty}\color{black}{}}_{\color{red}{s=-\infty}\color{black}{}} \color{red}{-}\color{black}{} x(s) e^{-j \Omega \frac{s}{a}} d\frac{s}{a} \\&= \int^{\infty}_{s=-\infty} - x(s) e^{-j \Omega \frac{s}{a}} \frac{1}{a}ds   \\&= -\frac{1}{a} \int^{\infty}_{s=-\infty}  x(s) e^{-j \Omega \frac{s}{a}} ds   \\&= - \frac{1}{a} X \left(\frac{\Omega}{a}\right)\end{aligned}$$

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1. Discrete Signal: Time Scaling (decimation and zero-interpolation)

$$x[t] \leftrightarrow X\left(\frac{\Omega}{a}\right)$$

• 신호를 시간적으로 압축(=decimation)하면 주파수 스펙트럼은 expansion(신장)
• 신호를 시간적으로 신장(zero interpolation, 0을 삽입)하면 스펙트럼은 compression(압축)

 

Continuous와 달리,

• Sampling 간격에 해당하는 실제 측정된 샘플들 간의 시간 간격을 줄이는 것이 아니고,
• 값이 없는 0이 채워지는 zero interpolation 에 불과함.

즉, 시간 축($n$은 index이지 실제 시간이 아님)에서의 샘플간의 간격이 변한 것이 아니므로 
면적보전을 위한 magnification이 필요없음.

 

증명

$$\begin{aligned}\mathcal{F}( x[an] ) &= \sum^\infty_{n=-\infty} x[an] e^{-j\Omega n} \\ &= \sum^\infty_{\color{red}{s}\color{black}{}=-\infty} x[\color{red}{s}\color{black}{}]e^{-j\Omega \color{red}{\frac{s}{a}}\color{black}{}} \\ &= \sum^\infty_{s=-\infty} x[s]e^{-j\frac{\Omega}{a}s}\\&= X\left( \frac{\Omega}{a} \right)\end{aligned}$$

• continuous와 달리 밀도(?)에 해당하는 $dt$ 가 존재하지 않기 때문에 면적보전을 위한 magnification이 없음.

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2. 중요: Zero-Interpolation

Time domain에서 sampling rate 증가에 따른 $\langle 0, 2\pi \rangle$ 구간이 표현하는 실제 주파수 대역이 커짐:

• 위의 그림의 경우, $2\pi$에 대응하는 freq.가 2배가 됨.

실제 값이 존재하는 time domain signal의 "시간 상 간격(샘플 수가 아님)"이 그대로이기 때문에 해당 signal에 해당하는 spectrum의 반복 freq. 주기는 그대로임.

• zero로 채워졌을 뿐 실제 값사이의 time interval은 그대로이고 샘플 수만 늘어남.
• 시간상 간격에 반비례하는 spectrum의 주기는 변화없음.

그러므로,

• $\langle 0, 2\pi \rangle$ 가 다루는 실제 주파수 대역이 늘어났지만,
• freq.의 주기는 그대로이므로
• $\langle 0, 2\pi \rangle$에서 zero-interpolation의 정도에 따른 spectrum의 여러 번 반복이 보이게 됨.

위의 그림은 Zero Interpolation의 효과를 보여줌:

• Zero Padding (0을 사이에 집어넣지 않고 한쪽 끝에 몰아서 집어넣음)과 차이있음에 주의할 것. 

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3. 같이보면 좋은 자료

2022.11.25 - [.../Signals and Systems] - [SS] Resolution of DFT

[SS] Resolution of DFT

 

https://gist.github.com/dsaint31x/eca284fdc0dc59bf21c1acb80f74f276

SS07_3_DFT_zero_padding_2022.ipynb

 

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