신호의 최대 주파수보다 최소 2배 이상의 샘플링 주파수로 샘플링하면 원래 신호를 완벽하게 복원할 수 있다는 Theorem
$$f_\text{sampling} \ge 2f_\text{max}$$
where
- $f_\text{sampling}$ : sampling frequency. sampling rate. Nyquist rate.
- $f_\text{max}$ : 신호의 최대 주파수.
Harry Nyquist
- 통신 이론에서 특정 대역폭(bandwidth)을 가진 아날로그 신호를 디지털화 (digitization)하기 위해서는
- 최소한 해당 신호의 대역폭의 두 배 이상의 샘플링 주파수가 필요하다는 사실을 발견
- 이때문에 최대 대역폭의 2배인 샘플링 주파수를 Nyquist Sampling Rate (or Sampling Rate, Nyquist Rate)이라고 부름.
Claude Shannon
- Nyquist의 연구(1928년 Certain Topics in the Telegraph Transmission Theory)를 확장하여,
- 대역 제한된 신호의 경우 원본 신호를 정확히 복원하기 위해서는
- 샘플링 주파수가 신호의 최대 주파수의 두 배 이상이어야 한다는 것을 증명
- 1949년 "Communication in the Presence of Noise"
2025.03.08 - [Computer] - [Etc] A Mathematical Theory of Communication - Claude Shannon
[Etc] A Mathematical Theory of Communication - Claude Shannon
A Mathematical Theory of Communication 은 Claude Shannon이 1948년에 발표한 유명한 논문의 제목임.이 논문은 Bell System Technical Journal에 두 부분으로 나뉘어 출판되었음.Part I : 1948.7 - Volume 27, Issue3, pp. 379-423Part I
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Impulse Train과 Convolution으로 살펴본 예
아래 그림에서 Signal $g_s(t)$의 최대 주파수는 바로 $f_\text{max}=c$가 된다.
즉, $f_\text{sampling} = \omega_s \ge 2c$일 때, aliasing이 생기지 않으며, 때문에 신호를 완벽하게 복원할 수 있다.
Over-sampling, perfect sampling, and Under-sampling
다음 그림은 sampling theorem을 만족시키지 못할 때 aliasing이 발생함을 보여준다.
위 그림 출처: https://www.goseeko.com/blog/what-is-the-aliasing-effect/
Aliasing 현상:
- Impulse train의 각 impulse 주변으로 원본 신호의 스펙트럼이 복제됨:
- Time domain에서의 곱은 Freq. domain에선 convolution.
- shifted impulse와의 convolution은 impulse 주변으로 원본신호의 스펙트럼 복제에 해당함.
- 샘플링 주파수가 충분히 높지 않으면(Nyquist rate 미만), 이 복제된 스펙트럼들이 서로 겹치게 됨: uncer sampling.
- 결국 왜곡된 스펙트럼이 형성되어 원래의 신호를 복원하지 못함.
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