[SS] Eigenmode, Eigenvector, and System mode

시스템 모드(system mode)는

• 시스템의 고유 모드(eigenmode),
• 즉 시스템의 고유벡터(eigenvector),
• 시스템의 고유함수(eigenfunction)

들과 동일한 개념임.

 

이는 시스템 고유의 response를 결정하는 핵심 요소임.

 

시스템을 나타내는 differential equation이나 state space(상태 공간) 표현에서
고유값(eigenvalue)과 함께 구해짐.

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System Mode와 Eigen Vector의 관계

• Eigenvalue:
  • 시스템의 Characteristic Equation (특성 방정식)을 풀어서 얻는 값.
  • 시스템의 안정성, 응답 속도, 진동 특성 등을 결정.
• Eigenvector:
  • 각 eigenvalue에 대응하는 vector로, 시스템 상태의 변화 방향을 나타냄.
  • 시스템의 동적 거동 패턴을 결정함.
• Eigenmode:
  • Eigenvector를 기반으로 시스템의 고유한 진동 형태나 동적 거동을 결정하는 basis function (or basis term): 보통 지수함수임.
  • System mode라고도 부르며, 시스템의 natural response을 구성.

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예시를 통한 이해 : 2차 시스템 미분 방정식

$$\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + a_1 \frac{d y(t)}{dt} + a_0 y(t) = 0$$

특성 방정식:

$$\lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 = 0$$

• Eigenvalue ( $\lambda_1, \lambda_2$ )를 구하고, 이에 대응하는 Eigenvector(또는 basis function)를 구함.
• Homogeneous Solution(natural response)는 다음과 같이 표현되며, 이는 시스템 모드의 linear combination:

$$y(t) = K_1 e^{\lambda_1 t} + K_2 e^{\lambda_2 t}$$

where

• $K_1, K_2$ 는 initial condition에 따라 결정됨.
• system mode는 $e^{\lambda_1 t}, e^{\lambda_2 t}$의 basis function을 가르킴.

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결론

• system mode는 시스템의 eigenvector, 즉 eigen mode와 동일하며, 시스템의 response를 결정하는 중요한 요소임.
• 시스템의 응답은 이러한 eigenmode의 linear combination(=superposition)으로 표현되며, 이는 시스템의 natural response를 구성.