[SS] Shannon-Nyquist Sampling Theorem

신호의 최대 주파수보다 최소 2배 이상의 샘플링 주파수로 샘플링하면 원래 신호를 완벽하게 복원할 수 있다는 Theorem

 

$$f_\text{sampling} \ge 2f_\text{max}$$

where

• $f_\text{sampling}$ : sampling frequency. sampling rate. Nyquist rate.
• $f_\text{max}$ : 신호의 최대 주파수.

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Harry Nyquist 

• 통신 이론에서 특정 대역폭(bandwidth)을 가진 아날로그 신호를 디지털화 (digitization)하기 위해서는
• 최소한 해당 신호의 대역폭의 두 배 이상의 샘플링 주파수가 필요하다는 사실을 발견
• 이때문에 최대 대역폭의 2배인 샘플링 주파수를 Nyquist Sampling Rate (or Sampling Rate, Nyquist Rate)이라고 부름.

Claude Shannon

• Nyquist의 연구를 확장하여,
• 대역 제한된 신호의 경우 원본 신호를 정확히 복원하기 위해서는
• 샘플링 주파수가 신호의 최대 주파수의 두 배 이상이어야 한다는 것을 증명

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Impulse Train과 Convolution으로 살펴본 예

아래 그림에서 Signal $g_s(t)$의 최대 주파수는 바로 $f_\text{max}=c$가 된다.

즉, $f_\text{sampling} = \omega_s \ge 2c$일 때, aliasing이 생기지 않으며, 때문에 신호를 완벽하게 복원할 수 있다.

Effect of impulse-train sampling for band-limited signal in time (a) and frequency domain (b)

위 그림 출처: https://www.semanticscholar.org/paper/A-Generalized-Nyquist-Shannon-Sampling-Theorem-the-Zeng-Liu/0954128668c45a71c4e2f1f56db722b6aeb8b523

 

Over-sampling, perfect sampling, and Under-sampling

다음 그림은 sampling theorem을 만족시키지 못할 때 aliasing이 발생함을 보여준다.

Nyquist Rate = $f_m$

위 그림 출처: https://www.goseeko.com/blog/what-is-the-aliasing-effect/

 

Aliasing 현상:

• Impulse train의 각 impulse 주변으로 원본 신호의 스펙트럼이 복제됨:
  • Time domain에서의 곱은 Freq. domain에선 convolution.
  • shifted impulse와의 convolution은 impulse 주변으로 원본신호의 스펙트럼 복제에 해당함.
• 샘플링 주파수가 충분히 높지 않으면(Nyquist rate 미만), 이 복제된 스펙트럼들이 서로 겹치게 됨: uncer sampling.
• 결국 왜곡된 스펙트럼이 형성되어 원래의 신호를 복원하지 못함.

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관련하여 읽어보면 좋은 자료들

2021.10.28 - [.../Signals and Systems] - [SS] Impulse Train 의 FT 구하기.

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2023.10.19 - [.../Signals and Systems] - [SS] Convolution with an shifted impulse

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