[SS] $e^{-at}u(t)$의 Laplace Transform

$e^{-at}u(t)$의 Laplace Transform

$$
\mathcal{L}(e^{-at}u(t)) = \int_0^\infty e^{-at} e^{-st} dt = \frac{1}{s+a}
$$

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증명:

$$\mathcal{L}(e^{-at}u(t)) = \int_0^\infty e^{-(s+a)t}  dt$$

 

여기서 $s^\prime = s + a$로 치환

$$s^\prime = s + a \quad \Rightarrow \quad s = s^\prime - a$$

 

따라서, 적분식은 다음과 같이 변경됨.

$$\int_0^\infty e^{-(s+a)t} dt = \int_0^\infty e^{-s't} dt$$

 

이제 $\int_0^\infty e^{-s^\prime t} dt$를 계산함.

 

이는 $s^\prime > 0$ 일 때 다음과 같음:

$$\int_0^\infty e^{-s't} dt = \frac{1}{s'}$$

 

원래 변수로 복원 하면 다음과 같음:
$s^\prime = s + a$ 이므로,

$$\int_0^\infty e^{-(s+a)t} \ dt = \frac{1}{s'} = \frac{1}{s+a}$$

 

즉, 다음이 성립:

$$\mathcal{L}(e^{-at}) = \frac{1}{s+a}, \quad s+a > 0$$

 

수렴조건을 따지면 다음이 성립해야 함:

$$\text{Re}(s+a) > 0 \Leftrightarrow \text{Re}(s) > - \text{Re}(a)$$

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다른 방법으로는 $u(t)$에 대한 Laplace Transform이 $\frac{1}{s}$이고,

shifting property를 이용하면, $\frac{1}{(s+a)}$를 구할 수 있음:

2025.10.30 - [.../Signals and Systems] - [SS] 상수 함수에 대한 Unilateral Laplace Transform

[SS] 상수 함수에 대한 Unilateral Laplace Transform

 

https://dsaint31.tistory.com/388#%24s%24-domain%20Shifting%20(or%20Complex%20Shifting)-1-2

[SS] Properties of (unilateral) Laplace Transform

 

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같이보면 좋은 자료

2022.10.24 - [.../Signals and Systems] - [SS] Laplace Transform Table

[SS] Laplace Transform Table

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