[SS] $e^{-at}$의 Laplace Transform

$e^{-at}$의 Laplace Transform

$$
\mathcal{L}(e^{-at}) = \int_0^\infty e^{-at} e^{-st} , dt
$$

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증명:

$$\mathcal{L}(e^{-at}) = \int_0^\infty e^{-(s+a)t} , dt$$

 

여기서 $s^\prime = s + a$로 치환

$$s^\prime = s + a \quad \Rightarrow \quad s = s^\prime - a$$

 

따라서, 적분식은 다음과 같이 변경됨.

$$\int_0^\infty e^{-(s+a)t} dt = \int_0^\infty e^{-s't} dt$$

 

이제 $\int_0^\infty e^{-s^\prime t} dt$를 계산함.

 

이는 $s^\prime > 0$ 일 때 다음과 같음:

$$\int_0^\infty e^{-s't} dt = \frac{1}{s'}$$

 

원래 변수로 복원 하면 다음과 같음:
$s^\prime = s + a$ 이므로,

$$\int_0^\infty e^{-(s+a)t} \ dt = \frac{1}{s'} = \frac{1}{s+a}$$

 

즉, 다음이 성립:

$$\mathcal{L}(e^{-at}) = \frac{1}{s+a}, \quad s+a > 0$$

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같이보면 좋은 자료

2022.10.24 - [.../Signals and Systems] - [SS] Laplace Transform Table

[SS] Laplace Transform Table

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