[SS] $t^n e^{-at}$의 Laplace Transform

$t^n e^{-at}$의 Laplace Transform

$$\mathcal{L} (t^n e^{-at}) = \int_0^\infty t^n e^{-at} e^{-st} dt = \frac{n!}{(s+a)^{n+1}}$$

위 적분을

• $s^\prime = s + a$ 로 치환하고
• Gamma function을 이용한 지수 함수와 $t^n$의 적분공식을 활용하여 증명

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증명:

$$\mathcal{L} (t^n e^{-at}) = \int_0^\infty t^n e^{-(s+a)t} dt$$

 

여기서 $s^\prime = s + a$로 치환.

$$s^\prime = s + a \quad \Rightarrow \quad s = s^\prime - a$$

 

위 적분식은 다음과 같이 변경됨.

$$\int_0^\infty t^n e^{-(s+a)t} dt = \int_0^\infty t^n e^{-s^\prime t} dt$$

 

여기에 지수 함수와 $t^n$의 적분 공식 을 활용:

$\int_0^\infty t^n e^{-bt} dt = \frac{n!}{b^{n+1}} \quad ,( b > 0)$

 

이를 적용하면,

$$\int_0^\infty t^n e^{-s^\prime t} dt = \frac{n!}{{s^\prime}^{n+1}}$$

 

원래 변수로 복원 하면 다음과 같음:

$s^\prime = s + a$이므로,

$$\int_0^\infty t^n e^{-(s+a)t} dt = \frac{n!}{(s+a)^{n+1}}$$

 

즉, 다음이 성립

$$\mathcal{L} (t^n e^{-at}) = \frac{n!}{(s+a)^{n+1}}, \quad s+a > 0$$

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같이보면 좋은 자료

2022.10.24 - [.../Signals and Systems] - [SS] Laplace Transform Table

[SS] Laplace Transform Table

 

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