Differential Equation으로 System을 기술할 경우,
- 초기조건을 포함한 differential eq.은 system의 완전한 동작특성을 기술할 수 있음.
- complete solution을 구하기 위해 필요한 초기조건의 갯수는 order의 수만큼임.
Impulse response로 표기할 경우, system의 zero-state response만을 구할 수 있는 제한이 있지만 Differential Equation의 경우 그런 제한이 없다는게 장점임.
하지만, impulse response의 경우보다 풀기가 어렵고, response를 파악이 impulse response를 이용하는 것보다 직관적이지 않다는 단점을 지님.
때문에, Differential Equation은 직접 푸는데 사용되기 보다는 보통 시스템의 Transfer function (혹은 freq. response)를 구하는데 더 많이 사용됨.
독립변수가 time인 LTI System은
constant coefficients를 가지는
linear ordinary differential equation으로 표현됨.
Time series signal
time series 관련 신호의 경우, time 을 독립변수로 가지는 function으로 표현되기때문에, 이를 처리하는 system은 Ordinary Differential Equation (ODE)으로 표현된다.
(독립변수가 1개인 미분 방정식 = ODE)
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Time invariant system
또한 많은 경우, Time invariant system이 다루어지며 이 경우,
해당 시스템을 나타내는 differential equation은 coefficients가 모두 constant로 기술된다.
(System이 시간에 따라 변하지 않기 때문에 system의 특성을 표현하는 coefficients가 모두 constant임.)
Causal system
또한 Causal system이라면, Differential Equation에서 output을 나타내는 right-side의 order가 input을 나타내는 left-side의 order보다 크거나 같아진다.
(다음 표준형 수을 예로 든다면 $n \ge m$이 성립함)
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Linear system의 경우, 당연히 Linear Differential Equation으로 표현된다.
(Linearity를 표현하기 위해서임)
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Linear Constant Coefficient Ordinary Differential Equation
다음이 표준형임 (left-side의 order가 가장 높은 term의 coefficient가 1임)
$$\dfrac{dy^n(t)}{dt^n}+a_{n-1}\dfrac{dy^{n-1}(t)}{dt^{n-1}}+a_{n-2}\dfrac{dy^{n-2}(t)}{dt^{n-2}}+\dots+a_{1}\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t) \\ = b_{m}\dfrac{dx^{m}(t)}{dt^{m}}+b_{m-1}\dfrac{dx^{m-1}(t)}{dt^{m-1}}+b_{m-2}\dfrac{dx^{m-2}(t)}{dt^{m-2}}+\dots+b_{1}\dfrac{dx(t)}{dt}+b_0x(t)$$
위의 식과 input signal $x(t)$, 그리고 initital condition이 주어지면 출력에 해당하는 solution $y(t)$가 구해짐.
solution $y(t)$는 homogeneous solution $y_h(t)$과 particular solution $y_p(t)$의 합으로 구성됨.
공학수학에서 소개하는 ODE를 풀는 고전적 방법은 다음과 같음.
- Differential eq.으로부터 Characteristic eq.을 구하여 풀어 Eigen-values을 결정한다
- Eigen-values을 이용하여 System mode로 구성된 Homogeneous solution, $y_h(t)$의 형태를 구한다
- 입력으로부터 Particular solution의 형태를 결정한 뒤 Differential eq.에 대입하여 풀어 Particular solution, $y_p(t)$를 구한다
- complete solution $y(t)$를 구하기 위해, $y(t)=y_h(t)+y_p(t)$로 두고 초기조건을 이용해 homogeneous solution의 coefficient들을 결정하고 $y(t)$를 구한다.
하지만, 위의 방법보다는 Laplace transform을 이용하여 s-domain으로 바꾸어 대수방정식으로 푸는 방식이 보다 많이 사용됨.
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