[Math] Sigmoid function

S자형 곡선을 갖는 함수. (대표적인 예가 logistic function이나 sigmoid는 다음과 같이 여러 종류가 있음)

logistic function을 제외한 여러 sigmoid function들.

 

• Artificial Neural Network의 Artificial Neuron의 Activation function으로 초창기에 많이 사용되었음.
• Logistic distribution, normal distribution, student $t$ distribution등의 probability distribution(확률 분포)들의 cumulative distribution function (cdf)이 바로 sigmoid function임.
  • 때문에 sigmoid function에 대한 derivative는 normal distribution처럼 대칭이고 종모양의 분포를 보이는 함수임.

여러 종류의 function이 sigmoid function에 속하지만, 대표적 예는 logistic function임.

$$f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}=\dfrac{e^x}{e^x+1}$$

https://dsaint31.tistory.com/613

[Math] Derivative of Logistic Function

 

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Python Code

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set()
 
x = np.linspace(-5,5, 100)
y = 1 / (1 + np.exp(-x))
 
plt.plot(x,y)
plt.title('logistic function')
plt.xlabel(r'$x$')
plt.ylabel(r'$\frac{1}{1+e^{-x}}$')
plt.axhline(0.5, c='r', ls='--')
plt.axvline(0., c='r', ls='--')
plt.show()

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Sigmoid for Activation Function (Logistiction Function에 대한 내용임)

• 함수에 exponential function (지수 함수)가 포함되어 있어서 연산 비용이 큰 편임.
• positive value만 출력하는 특성 및 양 끝단에서의 변화율이 0이라 Gradient vanishing이 발생하기 쉽고, 학습 속도도 느린 편임.
• 때문에, 최근의 ANN의 hidden layer에서는 거의 사용되지 않음.
• regression에서 range를 제한해야하는 경우 최종 출력단의 activation function으로 사용되거나, binary classification의 activation으로 사용됨.

1989년 Universal Approximation Theorem을 통해 Sigmoid를 activation으로 가지는 Nueral Network의 함수 모사 능력이 증명됨.

• sigmoid activation function을 가지면서
• 유한한 임의의 갯수의 neuron을 가진
• 한 hidden layer로 구성된 feedforward neural network 는 어떤 함수도 approximation(근사)할 수 있음

https://ds31x.blogspot.com/2023/08/dl-universal-approximation-theorem-uat.html?view=classic

DL : Universal Approximation Theorem (UAT)

 

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관련자료들

https://dsaint31.tistory.com/320

[ML] Logit에서 Logistic Function.

2023.08.13 - [Computer] - [DL] Hyperbolic Tangent Function (tanh)

[DL] Hyperbolic Tangent Function (tanh)