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[Math] Variance and Standard Deviation: Measure of Dispersion

Variance and Standard Deviation: Measure of DispersionMeasure of Central Tendency, 즉 현재 sampel의 representation인 mean을 통해해당 sample의 모든 cases를 하나의 값으로 표현하는 경우,해당 representation이 sample의 각각의 cases를 얼마나 잘 기술하는지는해당 sample이 얼마나 중앙에 몰려있는지에 따라 결정됨.중앙에 몰려 있을수록 representation으로 mean의 의미가 커짐.만약 각 cases가 퍼져있는(spread, dispersion) 경우엔, mean으로 각각의 case를 예측하는 것이 쉽지 않음.때문에 sample에서 값의 분포(distribution)를 나타낼 때, 각각..

[Math] Continuous 와 Differentiable 의 관계

Differentiable and Continuous Function $f(x)$가 $x=a$에서 미분 가능 ($p$) 하면 $f(x)$는 연속이다($q$). (← implication, 조건명제) $p \implies q$ 는 참(True)이나 이의 역인 $q \implies p$는 거짓(False)임. Example $f(x)=|x|$ : $x=0$에서 continuous하지만 미분가능하지 않음. Differentiable의 조건 (Scalar Function) Function(함수)가 Continuous(연속)이어야 함. 만약 continuous(연속)이라면 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 함. $$ \lim_{x \to a^-}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x \to a^+}..

[Math] Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions

다음이 기본적인 지수와 로그 함수의 도함수임. $$f(x)=e^x \rightarrow f^\prime(x)=e^x$$ $$f(x)=\log x \rightarrow f^\prime(x)=\frac{1}{x} $$ $$f(x)=a^x \rightarrow f^\prime(x)=a^x \log a$$ $$f(x)=\log_a x \rightarrow f^\prime(x)=\frac{1}{x\log a}$$ 2024.02.28 - [.../Math] - [Math] Limits of Log and Exponential Functions [Math] Limits of Log and Exponential Functions 대표적인 경우들은 다음과 같음. $$\underset{x\to 0}{\lim} \frac{..

[Math] Limits of Log and Exponential Functions

대표적인 경우들은 다음과 같음. $$\underset{x\to 0}{\lim} \frac{\log(1+x)}{x}=1$$ $$\underset{x\to 0}{\lim} \frac{\log_a(x+1)}{x} = \frac{1}{\log a}$$ $$\underset{x\to 0}{\lim} \frac{e^x -1}{x}=1$$ $$\underset{x\to 0}{\lim} \frac{a^x -1}{x}=\log a$$

[Math] The Key Rules of Differentiation

The Key Rules of Differentiation 1. Power rule (다항식의 미분에 핵심) If $f(x)=x^n$, where $n \in \mathbb{R}$, then the derivative of $f$ with respect to $x$ is $f^\prime(x)=nx^{n-1}$. 2. Constant rule if $f(x)=c$ where $c \in \mathbb{R}$ and constant, then the derivative of $f$ with respect to $x$ is $f^\prime (x)=0$. 3. Sum and Difference rule (미분의 선형성) $f$와 $g$ 모두 $x$에 대해 differentiable function이라면, 다..

[Math] Cauch’s Mean Value Theorem

Cauch가 Mean Value Theorem을 일반화시킨 Theorme(정리) : 1821년발표 내용은 다음과 같음. 두 함수 $f(x), g(x)$가 $[a,b]$에서 continuous하고, $(a,b)$에서 differentiable하면, $(a,b)$ 에 다음을 만족하는 $c$가 적어도 하나 존재함. $$(f(b)-f(a))g^\prime (c)=(g(b)-g(a))f^\prime(c)$$ 두개의 함수를 이용하여 derivative와 average ratio of change 간의 관계를 살핌. 증명은 Rolle's Theorem을 이용함. 여기서 $g(x)=x$로 한정할 경우, Mean Value Theorem이 됨 ($g^\prime=1$). $$(f(b)-f(a))=(b-a)f^\prime..