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[Math] Intermediate Value Theorem, Mean Value Theorem and Rolle’s Theorem

중간값의 정리(Intermediate Value Theorem, IVT) 와 평균값의 정리(Mean Value Theorem, MVT) 는 미적분학에서 중요한 정리들이며, 서로 유사하게 보이지만 다른 정리임. 중간값의 정리 (Intermediate Value Theorem, IVT) 중간값의 정리는 function의 continuity (연속성)에 대한 Theorem. function $f(x)$가 $[a,b]$에서 continuous이고 $f(a) \ne f(b)$이면, $f(a)$와 $f(b)$ 사이의 어떤 값 $m$에 대해 $f(c)=m$인 $c$가 $(a,b)$에서 적어도 하나 이상 존재. 평균값의 정리 (Mean Value Theorem, MVT) 평균값의 정리는 differtiable func..

[Math] interval (구간)

A (real) interval is a set of real numbers that contains all real numbers lying between any two numbers of the set. 구간을 parentheses와 square bracket을 이용하여 표현하는 것을 꼭 기억할 것. An open interval (개구간) does not include its endpoints, and is indicated with parentheses. For example, $(0,1)$ means greater than $0$ and less than $1$. This means $(0,1) = \{x | 0 < x < 1\}$. A closed interval (폐구간) is an inte..

[Math] Limit of Scalar Function: Left-sided Limit and Right-sided Limit

수렴과 발산 간단하게 생각하면 다음과 같음. Limit이 존재할 때 → 수렴(Converge)한다 고 말함. Limit이 존재하지 않을 시 → 발산(Diverge)한다 고 말함. 위는 엄격한 수학적 정의는 아니며, 아주 쉽게 사용되는 경우를 애기한 것임. limit이 존재하지 않는 경우는 양 또는 음의 무한대로 발산하는 경우 외에도 좌극한과 우극한이 일치하지 않는 경우들도 있으며, 이경우에는 발산한다고 애기하지는 않음. function이 발산(diverge)한다는 것(scalar function에 경우)은, function의 값이 어떤 실수값으로 정해지지 않고 (정해지면 수렴), 무한히 양 또는 음으로 커지는 경우를 가르킴. Left hand Limit (좌극한, lhl, Left sided limit)..

[Math] Analytic Function (해석함수)

An analytic function is a function that is locally given by a convergent power series (수렴하는 멱급수). There exist both real analytic functions and complex analytic functions. Analytic Function은 간단히 말하면 “무한번 미분가능하고 국소적으로 멱급수로 수렴"되는 function 임. absolute value (절대값)은 analytic function이 아닌 함수의 대표적 예임. ← 0에서 함수가 analytic하지 못함, 0을 Singular point(특이점)이라고 부름. 위의 표현은 “Lagrange의 정의”를 기반으로 표현한 것임. Analysis(해석학..

[Math] Inverse Function

수학 용어에서 "reciprocal"과 "inverse"는 다른 뜻을 가지므로 주의해서 사용해야 함. Inverse vs. Reciprocal: 쉽게 살펴본 역함수 "reciprocal"은 "역수"로 특정 수나 expression에 대해 역수를 취하는 것을 의미함. cosecant 함수가 sin함수의 reciprocal이라고 할 수 있음. $$ x \leftrightarrow \frac{1}{x}$$ 하지만, "inverse"는 "역함수"로서 "inverse function"이라고 풀어 쓸 수 있고, function의 효과를 뒤집는 function을 의미한다. $$y=f(x) \leftrightarrow x=f^{-1}(y)$$ 어떤 함수가 inverse function를 가진다면, 해당 함수와 해당 함..

[Math] Trigonometric Functions

Trigonometric functions 는 angle의 크기에 따라 변하는 functions로 삼각형의 변들 사이의 ratio 를 나타냄. Transcendental functions 의 대표적인 예임. sin과 cos은 주기신호나 wave등을 나타내는데 사용되는 기본적인 함수. 때문에 Fourier Transform과 같이 주파수 관련 처리나, positional encoding등에서 많이 사용됨. 2022.04.19 - [.../Physics] - [Physics] A periodic representation of wave : sin and cos [Physics] A periodic representation of wave : sin and cos $\sin$(정현), $\cos$(여현) : ..