[Math] Analytic Function (해석함수)

Analytic Function (해석함수)

An analytic function is a function that is
locally given by a convergent power series (수렴하는 멱급수).
There exist both real analytic functions and complex analytic functions.

 

Analytic Function은 간단히 말하면
“무한번 미분가능(smooth)하고 국소적으로 멱급수(power series)로 수렴"되는
Function 임.

• Absolute Value (절대값)은 Analytic Function이 아닌 함수의 대표적 예임.
  ◀ 0에서 함수가 analytic하지 못함
  ◀0을 Singular point(특이점)이라고 부름.
• 위의 표현은 “Lagrange의 정의”를 기반으로 표현한 것임.

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Analysis(해석학)에서 중요한 역할을 가지는데, 실해석학과 복소해석학에서 조금 차이가 있다.

• 위의 정의는 실수함수의 경우이며, 복소수인 경우 좀더 간단해진다.

복소수에선 미분가능하면 그냥 analytic function이 된다
(이 경우를 holomorphic이라고 칭하기도 함: 코시-리만 방정식을 만족하는지로 판단).

복소해석학에서
특정 점 p의 neighbor에서 미분가능하다는 것은
무한히 미분가능함(=smooth function)을 보장하고,
동시에 해석적이라는 개념과 동치임.

 

위의 내용은 실수함수에선 성립하지 않는다.

주의할 것.

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수학적 정의

실수로 한정할 경우 (real function으로 한정) 정의는 다음과 같음.

 

어떤 함수 $f(x)$가 점 $x=a$에서 (무한번) 미분 가능(smooth)하고,

임의의 양수 $\epsilon$에 대하여 $|x-a|<\epsilon$ 가 되는 점들의 집합을
'$a$의 neighbor(근방)' $(a-\epsilon, a+\epsilon)$ 이라고 할 때,

 

$f(x)$가 $x=a$ 근방에서의 함숫값과 $x=a$에서의 함수값을

Tayler series 같은 power series(멱급수)로 표현할 수 있을 때 (당연히 power series는 수렴해야 함),

$f(x)가 x=a$에서 '해석적(analytic)' 이라고 한다.

 

위의 power series는 다음 수식과 같고, 이는 $(a-\epsilon, a+\epsilon)$ 구간에서 $f(x)$로 수렴함.

$$\begin{aligned}\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0}w_n (x-a)^n &= w_0 +w_1(x-a) + w_2(x-a)^2 + \dots \\ &= \displaystyle \sum^\infty_{n=0}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\end{aligned}$$

• $f^{(n)}$: $n$-th order derivative of $f$.
• 두번째 줄의 식이 바로 Taylor Series임.

또한 Uniqueness Theorem(유일성 정리)에 의해

• 해당하는 power series가 $f(x)$로 수렴한다면,
• 이는 반드시 유일하며, Tayler Series와 같다.

 

그리고,

모든 domain에 대해 analytic한 function을 가르켜
Analytic function이라고 함.

 

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장점

Analytic function의 경우 아무리 복잡한 형태라도

• 특정 point $a$에서의 function value만 측정할 수 있다면,
• Taylor expansion으로 일종의 polynomial expression으로 approximation이 가능함.

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읽어보면 좋은 자료들

2023.02.27 - [.../Math] - [Math] Taylor Expansion and Taylor Theorem (테일러 전개)

[Math] Taylor Expansion and Taylor Theorem (테일러 전개)

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다음은 정말 좋은 자료임 (꼭 읽어볼 것)

https://gosamy.tistory.com/115

테일러 급수와 해석함수 (Analytic function with Taylor series)

위의 "단수이낭만상점" 의 페이지가 끊길 경우 다음을 참고 (가급적 위의 URL로 가서 볼 것.).

테일러 급수와 해석함수 (Analytic function with Taylor series).pdf

3.52MB

 

https://blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=lovetaehong&logNo=130095655299

해석적인 함수란?

2024.02.26 - [.../Math] - [Math] Function의 분류: 작성중

[Math] Function의 분류: 작성중

 

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