[Math] Limit of Scalar Function: Left-sided Limit and Right-sided Limit

수렴과 발산

간단하게 생각하면 다음과 같음.

Limit이 존재할 때 → 수렴(Converge)한다 고 말함.

Limit이 존재하지 않을 시 → 발산(Diverge)한다 고 말함.

 

위는 엄격한 수학적 정의는 아니며, 아주 쉽게 사용되는 경우를 애기한 것임.

limit이 존재하지 않는 경우는 양 또는 음의 무한대로 발산하는 경우 외에도 좌극한과 우극한이 일치하지 않는 경우들도 있으며, 이경우에는 발산한다고 애기하지는 않음. 

 

function이 발산(diverge)한다는 것(scalar function에 경우)은,

function의 값이 어떤 실수값으로 정해지지 않고 (정해지면 수렴),

무한히 양 또는 음으로 커지는 경우를 가르킴. 

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Left hand Limit (좌극한, lhl, Left sided limit)

$x$가 $p$보다 작은 값($x<p$)을 가지면서 $p$에 한없이 가까워지는 경우 $f(x)$가 real number $L$에 한없이 가까워지면 $L$을 Left hand limit (좌극한) 이라고 하면 다음과 같이 표기한다.

$$ \displaystyle \lim_{x \to p^-} f(x)=L $$

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Right Hand Limit (우극한, rhl, Right sided limit)

$x$가 $p$보다 큰 값($x>p$)을 가지면서 $p$에 한없이 가까워지는 경우 $f(x)$가 real number $L$에 한없이 가까워지면 $L$을 Right hand limit (우극한) 이라고 하면 다음과 같이 표기한다.

$$ \displaystyle \lim_{x \to p^+} f(x)=L $$

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Limit (극한) 존재 조건: lhl = rhl

$x$가 특정한 값 $a$을 가질 때, 해당 값에서 $f(x)$가 극한을 가진다고 판정되려면, lhl과 rhl이 같아야 함.

$$ \displaystyle \lim_{x \to p^-} f(x)=\lim_{x \to p^+} f(x)=L \Leftrightarrow \lim_{x \to p} f(x)=L $$

 

만약 $a$가 $\infty$ 또는 $-\infty$인 경우에도 limit이 존재할 수 있음.

• $x$가 $\infty$에 가까워질수록 $f(x)$가 $L$에 가까운 값을 가진다면, 역시 극한이 존재함.
• $x$가 $-\infty$에 가까워질수록 $f(x)$가 $L$에 가까운 값을 가진다면, 역시 극한이 존재함.