[Math] Limit of Scalar Function: Left-Sided Limit and Right-Sided Limit

수렴과 발산

간단하게 생각하면 다음과 같음.

Limit이 존재할 때 ▶ 수렴(Converge)한다 고 말함.

Limit이 존재하지 않을 시 ▶ 발산(Diverge)한다 고 말함.

 

위는 엄격한 수학적 정의는 아니며, 아주 쉽게 설명한 것임.

 

limit이 존재하지 않는 경우는

• 양 또는 음의 무한대로 발산하는 경우 외에도
• 좌극한과 우극한이 일치하지 않는 경우들도 있으며,
• 이 경우에는 발산(diverge)한다고 애기하지는 않음. 

function이 발산(diverge)한다는 것(scalar function에 경우)은,

• function의 값이 어떤 실수값으로 정해지지 않고 (정해지면 수렴),
• 무한히 양 또는 음으로 커지는 경우를 가르킴. 

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Left Hand Limit (좌극한, LHL, Left Sided Limit)

$x$가 $p$보다 작은 값($x<p$)을 가지면서 $p$에 한없이 가까워지는 경우

• $f(x)$가 real number $L$에 한없이 가까워지면
• $L$을 Left Hand Limit (LHL, 좌극한) 이라고 하면 다음과 같이 표기한다.

$$ \displaystyle \lim_{x \to p^-} f(x)=L $$

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Right Hand Limit (우극한, RHL, Right Sided Limit)

$x$가 $p$보다 큰 값($x>p$)을 가지면서 $p$에 한없이 가까워지는 경우

• $f(x)$가 real number $L$에 한없이 가까워지면
• $L$을 Right Hand Limit (RHL, 우극한) 이라고 하면 다음과 같이 표기한다.

$$ \displaystyle \lim_{x \to p^+} f(x)=L $$

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Limit (극한) 존재 조건: lhl = rhl

$x$가 특정한 값 $p$을 가질 때, 해당 값에서 $f(x)$가 극한을 가진다(또는 극한이 존재한다)고 판정되려면, lhl과 rhl이 같아야 함.

$$ \displaystyle \lim_{x \to p^-} f(x)=\lim_{x \to p^+} f(x)=L \Leftrightarrow \lim_{x \to p} f(x)=L $$

 

만약 $p$가 $\infty$ 또는 $-\infty$인 경우에도 limit이 존재할 수 있음.

• $x$가 $\infty$에 가까워질수록 $f(x)$가 $L$에 가까운 값을 가진다면, 역시 극한이 존재함.
• $x$가 $-\infty$에 가까워질수록 $f(x)$가 $L$에 가까운 값을 가진다면, 역시 극한이 존재함.

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같이보면 좋은자료들

https://dsaint31.github.io/math/math-week03/

[Math] Week 03

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