[Math] Intermediate Value Theorem, Mean Value Theorem and Rolle’s Theorem

중간값의 정리(Intermediate Value Theorem, IVT) 와 평균값의 정리(Mean Value Theorem, MVT) 는

미적분학에서 중요한 정리들이며, 서로 유사하게 보이지만 다른 정리임.

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중간값의 정리 (Intermediate Value Theorem, IVT)

중간값의 정리는 function의 continuity (연속성)에 대한 Theorem.

 

function $f(x)$가 $[a,b]$에서 continuous이고 $f(a) \ne f(b)$이면, 

$f(a)$와 $f(b)$ 사이의 어떤 값 $m$ (=intermediate value)에 대해

$f(c)=m$인 $c$가 $(a,b)$에서 적어도 하나 이상 존재. 

 

비슷한 것으로 Extreme Value Theorem (최대-최소의 정리)도 있음.
function $f(x)$rk $[a,b]$에서 coninuous하면,
$[a,b]$  에서 최대값과 최소값이 반드시 존재함.

여기에 differentiable 을 추가하면 Fermat's Theorem on Stationary Point가 됨.
만약  $f(x)$ 가 $(a, b)$ 에서 미분 가능하고,  
$c \in (a, b)$ 에서  $f(x)$ 가 극값(최대값 또는 최소값)을 갖는다면,
그 점에서 도함수는 반드시 0이어야 함 (=stationary point).

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평균값의 정리 (Mean Value Theorem, MVT)

평균값의 정리는 differtiable function에 대한 Theorem.

• 미분계수와 평균변화율의 관계를 보임.

 

function $f(x)$가 closed interval $[a, b]$에서 continuous(연속)이고,

opened interval $(a, b)$에서 differentiable(미분 가능)하다면,

적어도 하나의 $c$ ($a < c < b$)가 다음을 만족함.
$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

이는

function의 기울기가
"구간 $[a, b]$에서의 function 의 평균 변화율과 같은 지점"이
적어도 하나 존재함을 의미다.

 

개념적으로는 Mean Value Theorem은

• Cauch's Mean Value Theorem의 특별한 경우라고 볼 수 있지만
• Caush's Mean Value Theorem은 1821년 나온 것이고,
• Mean Value Theorme은 Lagrange에 의해 1797년 발표됨.

2024.02.27 - [.../Math] - [Math] Cauch’s Mean Value Theorem

[Math] Cauch’s Mean Value Theorem

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차이점

• IVT는 continuous function에 대한 정리이나,  
  MVT는 differentiable까지 해야함. (모든 미분가능한 함수는 연속인 점 기억.)
• IVT는 function value (함숫값)이 대상이나,
  MVT는 function의 기울기(미분계수)을 대상으로함.

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Rolle's Theorem

Mean Value Theorem의 특별한 경우 ($f(a)=f(b)$라는 조건이 더 붙은 경우)라고 볼 수 있음.

 

function $f(x)$가 closed interval $[a, b]$에서 continuous(연속)이고,

opened interval $(a, b)$에서 differentiable(미분 가능)하면서,

$f(a)=f(b)$인 경우,

적어도 하나의 $c$ ($a < c < b$)가 다음을 만족함.
$$f'(c) = 0$$

 

위의 정리를 보면, MVT에서 평균변화율이 0인 경우가 바로 Rolle's Tehorem에 해당함.

 

위의 정리를 명제로 기재하면

function $f(x)$가 closed interval $[a, b]$에서 continuous(연속)이고,

opened interval $(a, b)$에서 differentiable(미분 가능)이면 다음이 성립.

$$f(a)=f(b) \Rightarrow \exists c \in (a,b), f^\prime(c) = 0$$

 

https://youtu.be/thUWUDhH5Cg?si=9m-v9oTt8nVXxaQX

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위에 대한 converse(대우)는

$$\forall c \in (a,b), f^\prime(c) \ne 0 \Rightarrow f(a) \ne f(b)$$

 

즉, "$(a,b)$에서 임의의 $c$에 대해 $f^\prime (c) \ne 0$이라면, $f(a) \ne f(b)$이다" 를 의미.

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같이보면 좋은 자료들

https://dsaint31.github.io/math/math-week03/

[Math] Week 03

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