Cauch가 Mean Value Theorem을 일반화시킨 Theorme(정리) : 1821년발표
내용은 다음과 같음.
두 함수 f(x),g(x)가 [a,b]에서 continuous하고, (a,b)에서 differentiable하면,
(a,b) 에 다음을 만족하는 c가 적어도 하나 존재함.
(f(b)−f(a))g′(c)=(g(b)−g(a))f′(c)
두개의 함수를 이용하여 derivative와 average ratio of change 간의 관계를 살핌.
증명은 Rolle's Theorem을 이용함.
여기서 g(x)=x로 한정할 경우, Mean Value Theorem이 됨 (g′=1).
(f(b)−f(a))=(b−a)f′(c)f′(c)=f(b)−f(a)b−a
2024.02.27 - [.../Math] - [Math] Intermediate Value Theorem, Mean Value Theorem and Rolle’s Theorem
[Math] Intermediate Value Theorem, Mean Value Theorem and Rolle’s Theorem
중간값의 정리(Intermediate Value Theorem, IVT) 와 평균값의 정리(Mean Value Theorem, MVT) 는 미적분학에서 중요한 정리들이며, 서로 유사하게 보이지만 다른 정리임. 중간값의 정리 (Intermediate Value Theorem, IVT)
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g′(x)≠0이라는 조건이 붙을 경우, Rolle's Theorem에 의해 g(a)≠g(b)이므로 다음과 같이 표기할 수 있게됨.
f′(c)g′(c)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)
기하적인 의미는,
g(t)와 f(t)가 각각 x축과 y축에서 매개변수(parameter), t를 공유하는 경우로 생각하면 된다.

dydx=df(t)dtdg(t)dt=f′(t)g′(t)
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