[Math] Cauch’s Mean Value Theorem

Cauch가 Mean Value Theorem을 일반화시킨 Theorme(정리) : 1821년발표

내용은 다음과 같음.

 

두 함수 $f(x), g(x)$가 $[a,b]$에서 continuous하고, $(a,b)$에서 differentiable하면,

$(a,b)$ 에 다음을 만족하는 $c$가 적어도 하나 존재함. 

$$(f(b)-f(a))g^\prime (c)=(g(b)-g(a))f^\prime(c)$$

 

두개의 함수를 이용하여 derivative와 average ratio of change 간의 관계를 살핌.

 

증명은 Rolle's Theorem을 이용함.

 

여기서 $g(x)=x$로 한정할 경우, Mean Value Theorem이 됨 ($g^\prime=1$).

$$(f(b)-f(a))=(b-a)f^\prime(c) \\ f^\prime(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

2024.02.27 - [.../Math] - [Math] Intermediate Value Theorem, Mean Value Theorem and Rolle’s Theorem

[Math] Intermediate Value Theorem, Mean Value Theorem and Rolle’s Theorem

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$g^\prime (x) \ne 0$이라는 조건이 붙을 경우, Rolle's Theorem에 의해 $g(a) \ne g(b)$이므로 다음과 같이 표기할 수 있게됨.

$$ \frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$

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기하적인 의미는,

$g(t)$와 $f(t)$가 각각 x축과 y축에서 매개변수(parameter), $t$를 공유하는 경우로 생각하면 된다.

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{df(t)}{dt}}{\frac{dg(t)}{dt}}=\frac{f^\prime(t)}{g^\prime(t)}$$