[Math] Inverse Function: Inverse vs. Reciprocal

수학 용어에서 "reciprocal"과 "inverse"는 다른 뜻을 가지므로 주의해서 사용해야 함.

 

inverse는 역원 이고 identity는 항등원 임.
reciprocal은 역수로 특정 숫자와 그에 대한 reciprocal을 곱하면 1이 나옴

Inverse vs. Reciprocal: 쉽게 살펴본 역함수

"reciprocal"은 "역수"로 특정 수나 expression에 대해 역수를 취하는 것을 의미함.

 cosecant 함수가 sin함수의 reciprocal이라고 할 수 있음.

$$ x \leftrightarrow \frac{1}{x}$$

 

하지만, "inverse"는 "역함수"로서 "inverse function"이라고 풀어 쓸 수 있고,

function의 효과를 뒤집는 function을 의미한다.

$$y=f(x) \leftrightarrow x=f^{-1}(y)$$

 

어떤 함수가 inverse function를 가진다면,
해당 함수와 해당 함수의 inverse를 합성시킨 composite function의 경우에

다음과 같이 결과값이 처음 입력값으로 나오게 된다.

$$(f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=(f\circ f^{-1})(x)=f(f^{-1}(x))=x$$

 

엄밀하게 애기하면, inverse function은 one-to-one correspondance인 function에만 존재함.

arcsin, arccos, arctan 등의 경우 일반적으로 inverse function of trigonometric function이라고 여겨지나,

이는 domain을 한정하여 bijection이 성립하도록 한 경우에만 가능함.

 

즉, bijective function (전단사함수) $f$만이
invertible function (가역함수) 임.

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identity function (항등함수)

앞서 설명에서 원래 함수와 해당 함수의 inverse를 결합한 composite function은 항상 입력과 출력이 같으며,

이같이 입출력이 동일한 function을 identity function (항등함수)이라고 부름.

(수의 연산에서의 항등원과 비슷함.)

 

수학적으로 기재하면, 다음과 같음.

function $I: A \to B$에서 $A \subseteq B$이고 $\forall x \in A: I(x)=x$일 경우,
해당 function $I$를  identity function이라고 한다.

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inverse function에 대한 정의.

$f:X\rightarrow Y$가 one-to-one correspondance(전단사, 일대일대응) 함수일 때,

$f(x)=y$인 $y$에 $x$를 대응시키는 함수를 역함수(inverse)라고 하고 $f^{−1}$로 적는다.

$$f^{-1}: Y \rightarrow X\\ f^{-1}(y)=x, \quad x\in X, y\in Y$$

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성질

set $A,B,C$에서 bijective function $f:A\to B$와 $g: B\to C$에 대해  

$x \in A, y \in B$인 경우 다음이 항상 성립한다.

• $y=f(x) \Rightarrow x=f^{-1}(y)$ : inverse가 존재.
• $(f^{-1})^{-1}=f$
• $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$

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2021.09.14 - [.../Math] - Function (함수) : 간략 정의

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