[Math] Continuous 와 Differentiable 의 관계

Differentiable and Continuous

Function $f(x)$가 $x=a$에서 미분 가능 ($p$) 하면 $f(x)$는 연속이다($q$). (← implication, 조건명제)

• $p \implies q$ 는 참(True)이나 이의 역인 $q \implies p$는 거짓(False)임.

Example

• $f(x)=|x|$ : $x=0$에서 continuous하지만 미분가능하지 않음.

2023.06.22 - [.../Math] - [Math] Continuity (of Multivariate Function) and Contiguity

[Math] Continuity (of Multivariate Function) and Contiguity

 

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Differentiable의 조건 (Scalar Function)

• Function(함수)가 Continuous(연속)이어야 함.
• 만약 continuous(연속)이라면 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 함.

$$
\lim_{x \to a^-}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x \to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ \lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{f(a+\Delta x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{f(a+\Delta x)}{\Delta x}\\ \text{left derivative}=\text{right derivative}
$$

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