[Math] Continuity (of Multivariate Function) and Contiguity

Continuity (연속) 이란

If $S\subseteq \mathbb{R}^n$, then a function $f:S\to \mathbb{R}$ is continuous at $\textbf{a} \in S$ if

$$\begin{equation}\label{cont.def}
\forall \varepsilon >0, \ \ \exists \delta>0 \mbox{ such that if } \mathbf x \in S \mbox{ and } |\mathbf x - \mathbf a|<\delta, \mbox { then } | f(\mathbf x) - f(\mathbf a)| < \varepsilon.
\end{equation}$$

 

만약 $f$가 모든 $S$의 point에서 continuous하다면, $f$ 는 연속함수(continuous function)임.

2024.02.27 - [.../Math] - [Math] interval (구간)

[Math] interval (구간)

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limit으로 표현하면 다음이 성립함.

$f:S\to \mathbb{R}^n$ is continuous at $\textbf{a} \in S$ if and only if $\displaystyle\lim_{\mathbf x\to \mathbf a} f(\textbf{x}) = f(\textbf{a})$

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만약 scalar function으로 한정하고 특정 위치 $x=a$에서 표현하면 다음과 같음.

 

특정위치 $x=a$에서 $f(x)$가 Continuous 이라면 다음을 만족(← Cauchy,1821)

1. $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)$가 존재.
2. $f(a)$가 존재.
3. $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=f(a)$가 성립. 

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Basic Properties of continuity

Multivariate Function $f(\textbf{x}),g(\textbf{x})$가 $\textbf{a}$에서 continuous라면, 다음의 function들도 $\textbf{a}$에서 continuous임.

• $f \pm g$
• $cf \text{ ,where }c \text{ is a constant.}$
• $fg$
• $\displaystyle \frac{f}{g} \text{, where } g(\text{a}) \ne 0$

쉽게 말하면 multivariate function의 continuity는 사칙연산과 scalar multiple에 대해 보존됨을 알 수 있음.

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Continuous 와 Contiguous 의 차이.

• Continuous
  • 수학, 물리학, 일상적 용어에서 사용
  • 중단이나 간격 없이 끊임없이 이어지는 성질을 나타냄.
  • 위의 수학적 정의를 가짐.
• Contiguous
  • 주로 컴퓨터 메모리 또는 데이터 구조의 물리적 배치와 관련된 용어
  • C 등에서 array 또는 tensor 를 나타내는 class 들이 storage를 위해 채택됨.
  • 데이터가 메모리 상에서 서로 인접한 위치에 저장됨을 의미합니다. 

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References

http://www.math.toronto.edu/courses/mat237y1/20199/notes/Chapter1/S1.2.html

1.2: Limits and Continuity