Differentiability
f:Rn→Rm 이고, a∈Rn이면서 f의 domain에 속한다고 하자. 이 때
lim
- ||\textbf{x}-\textbf{a}||_2 : \textbf{x}와 \textbf{a}의 difference vector의 L-2 norm임.
위와 같은 식을 만족하는 linear transform \textbf{L}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m 이 존재한다면,
\textbf{f} 를 \textbf{a}에서 differentiable 하다고 한다.
- 여기서 \textbf{L} 이 바로 derivative of \textbf{f} 임.
- \textbf{L} = \textbf{f}^\prime (\textbf{a}).
위의 정의에서 \textbf{L}\langle \textbf{v} \rangle는 vector \textbf{v}를 linear transform \textbf{L}로 mapping한 결과 인 image of \textbf{v}를 가르킴.
즉, \textbf{L}이 linearity를 가진다는 의미는
- \textbf{L}=\textbf{f}^\prime(\textbf{a})가 \textbf{a}상에서 linear 하다는 뜻이 아니고,
- \textbf{L}\langle \textbf{v}\rangle=\textbf{f}^\prime(\textbf{a})\langle \textbf{v} \rangle가 \textbf{v} 상에서 linear 하다는 뜻임.
이를 이해하기 위해 matrix equation으로 \textbf{L}\langle \textbf{v}\rangle=\textbf{f}^\prime(\textbf{a})\langle \textbf{v} \rangle를 표현하면 다음과 같음.
linear transform \textbf{L}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m 은 다음과 같은 unique한 m \times n standard matrix를 가짐.
\textbf{L}=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ & \ddots & \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{bmatrix}
- 위의 matrix가 바로 muti-variable vector(-valued) function \textbf{F}의 Jacobian matrix임.
여기서 \langle \textbf{v} \rangle은 column vector \textbf{v}를 n \times 1 matrix로 표현한 것을 의미한다. 즉 다음과 같은 matrix equation으로 표현됨.
\textbf{L}\langle \textbf{v} \rangle= \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ & \ddots & \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}v_1 + \cdots + \frac{\partial f_1}{\partial x_n}v_n \\ \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}v_1 + \cdots + \frac{\partial f_m}{\partial x_n}v_n\end{bmatrix}
Multivariate function의 경우
multi-variate function의 경우, m=1 (즉, 결과값이 scalar, \textbf{f}=f_1=f)이 되므로 결국 다음과 같음.
\textbf{L}\langle \textbf{v} \rangle= \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}v_1 + \cdots + \frac{\partial f_1}{\partial x_n}v_n\end{bmatrix}= \frac{\partial f}{\partial x_1}v_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}v_n \\ \textbf{L}=f^\prime = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}\end{bmatrix}
Differentiability of multivariate function을 \Delta f = f(a_1+\Delta x_1, \cdots, a_n+\Delta x_n)- f(a_1 \cdots a_n)으로 표현하면 다음과 같음.
f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}와 \textbf{a}이 domain에 속하면서 \textbf{a} \in \mathbb{R}^n 인 경우, incremental \Delta f 가 다음을 만족하는 경우, f는 \textbf{a}에서 differentiablity를 갖는다.
\Delta f = \sum^n_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i + \sum^n_{i=1} \epsilon_i \Delta x_i
- 단, 모든 i (1부터 n까지)에 대해, \Delta x_i \to 0이면 \epsilon_i \to 0가 성립해야 함.
References
https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-0035-2_1
'... > Math' 카테고리의 다른 글
[Math] Partial Derivatives (편도함수) (0) | 2023.06.23 |
---|---|
[Math] Differentiation (or Differential, 미분)과 Difference (차분) (0) | 2023.06.23 |
[Math] Continuity (of Multivariable Function) and Contiguity (0) | 2023.06.22 |
[Math] Limit Laws of Multivariate Function (0) | 2023.06.22 |
[Math] Limit of a Multi-Variate function and Limit Point (0) | 2023.06.22 |