[LA] Isomorphism (동형사상)

수학에서 isomorphism(동형)은
두 개의 수학적 구조가 본질적으로 동일하며,
서로 1:1 대응되는 관계를 의미한다.

 

즉, 한 구조에서 수행하는 연산과 관계를 다른 구조에서도 동일하게 수행할 수 있을 때,
우리는 이 두 구조가 “동형”이라고 애기함.

 

다음은 isomorphism을 graph로 예를 든 것임:

isomorphic graph

---

1. 2차원 벡터와 점의 표현

2차원 벡터 $\mathbf{v} = \langle a, b\rangle$는 다음 두 가지 방식으로 표현할 수 있음.

1. 2차원 좌표 평면의 한 점 $(a,b)$로 표현
   • 이는 평면 위의 특정한 위치를 나타냄.
2. 원점에서 시작하여 점 $(a, b)$까지 이어지는 화살표(벡터)로 표현
   • 이는 크기와 방향을 가진 수학적 객체로서 해석 가능.

이 두 표현은 서로 다른 방식이지만, 둘 다 평면 위에서의 2차원 vector space 와 1:1 대응이 됨.

즉, 둘 다 동일하게 $\mathbf{R}^2$에 대응됨!

---

2. 두 표현 사이의 관계: Isomorphism

이와 같이, 두 가지 표현 방식이

• 1:1 대응(one-to-one correspondence)을 가지며,
• 연산의 성질(=수학적 구조)까지 동일하게 유지된다면,

두 표현 방식 간의 관계를 isomorphism(동형)이라고 수학적으로 부름.

 

예를 들어, 두 벡터 $\mathbf{u} = (x_1, y_1)$, $\mathbf{v} = (x_2, y_2)$에 대해

• 벡터 덧셈: $(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$
• 스칼라 곱셈: $c(x, y) = (cx, cy)$

이러한 연산들이 벡터로서의 표현과 점(point)의 표현에서 모두 동일하게 유지되므로,
이 두 표현 방식은 벡터 공간의 동형(isomorphism of vector spaces)을 가진다고 할 수 있음.

---

3. Isomorphism의 의미

 

isomorphism(동형)은
“수학적으로 동일한 구조를 다른 방식으로 표현한 것”을 의미.

 

이때 중요한 점은 단순히 기호나 표기법의 차이가 아니라, 연산과 관계가 보존되는 변환이어야 한다는 것이다.

예를 들어, vector space 에서의 isomorphism(동형성)이란

• 두 벡터 공간이 덧셈과 스칼라 곱셈의 성질을 유지하면서
• 서로 변환될 수 있음을 의미한다.

---

4. Isomorphism의 예제

다음은 isomorphism 에 대한 대표적인 예임.

---

4-1. 2차원 벡터 공간 $\mathbb{R}^2$와 복소수 공간 $\mathbb{C}$

2차원 실수 벡터 공간 $\mathbb{R}^2$와 복소수 공간 $\mathbb{C}$는 서로 isomorphic하다.

함수 $\phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}$를
$$ \phi(a, b) = a + bi $$
로 정의하면,

• 벡터 덧셈이 보존됨:
  $$ \phi((a, b) + (c, d)) = (a + c) + (b + d)i = \phi(a, b) + \phi(c, d) $$
• 스칼라 곱셈이 보존됨:
  $$ \phi(\lambda(a, b)) = \lambda a + \lambda b i = \lambda \phi(a, b) $$

따라서, $\mathbb{R}^2$와 $\mathbb{C}$는 벡터 공간 동형(isomorphic vector spaces)임.

즉, $\mathbb{C}$에서의 덧셈과 스칼라 곱셈 연산은 $\mathbb{R}^2$의 벡터 공간 연산과 완전히 동일한 구조를 가진다.

---

4-2 Fourier Transform을 이용한 시간-주파수 함수 공간의 동형성

 

Fourier Transform은 시간 영역(time domain)과 주파수 영역(frequency domain)을 연결하는 변환으로,
이 두 공간은 isomorphism을 이룬다.

 

함수 공간 $L^2(\mathbb{R})$는 제곱 적분 가능 함수들의 공간으로, 두 함수 $f, g$에 대해 내적(inner product)이 정의됨:
$$ \langle f, g \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \overline{g(t)} dt $$

푸리에 변환 $\mathcal{F}$는 다음과 같이 정의됨:
$$ (\mathcal{F} f)(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i 2\pi \xi t} dt $$

푸리에 변환은 선형 연산을 보존하며, $L^2$ 공간에서 unitary isomorphism(유니터리 동형사상)이 됨. 즉,
$$ \langle f, g \rangle = \langle \mathcal{F} f, \mathcal{F} g \rangle $$
가 성립하여, 함수 공간의 구조를 그대로 유지한 채로 변환됨.

따라서, 시간 영역의 함수 공간과 주파수 영역의 함수 공간은 isomorphic하다.

---

4-3. 정수 덧셈 그룹 $(\mathbb{Z}, +)$와 짝수 정수 덧셈 그룹 $(2\mathbb{Z}, +)$

정수 덧셈 그룹 $(\mathbb{Z}, +)$와 짝수 정수 덧셈 그룹 $(2\mathbb{Z}, +)$ 사이에도 isomorphism이 존재함.

 

함수 $f: \mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}$를
$$ f(n) = 2n $$
으로 정의하면,

• 덧셈이 보존됨:
  $$ f(m + n) = 2(m + n) = 2m + 2n = f(m) + f(n) $$
• 1:1 대응이 됨 (즉, 전단사 함수)

따라서, $(\mathbb{Z}, +)$와 $(2\mathbb{Z}, +)$는 군 동형(isomorphic groups)을 이룸.

---

4-4. Vector Space의 관점에서의 isomorphism.

• In general, a one-to-one linear transformation from a vector space $V$ onto a vector space $W$ is called an isomorphism from $V$ onto $W$.
• The notation(표기법) and terminology(용어) for $V$ and $W$ may differ,
  but the two spaces are indistinguishableas vector spaces.
• Every vector space calculation in $V$is accurately reproduced in $W$, and vice versa.

https://www.notion.so/dsaint31/4-4-Coordinate-Systems-50853b0b4beb4669908a47e349b9157c?pvs=4#ffcfabeee4324bc7853780db0705b2a6

 

---

5. 결론

Isomorphism (동형사상)을 요약하면 다음과 같음:

1. 정의: 두 Algebraic Structure (대수구조) 사이의 “구조보존 전단사 함수”
2. 특성:
   • 전단사 (bijective): 일대일 대응이면서 전사
   • 구조 완전 보존: 모든 연산과 관계를 보존
   • 가역성: 역함수가 존재하며, 역함수도 isomorphism
   • 항상 동일한 dimension(차원)의 구조 사이에서 정의
3. 예: $\mathbb{R}^2$ 와 복소평면 $\mathbb{C}$ 사이의 isomorphism
4. Note:
   • isomorphism은 단순한 표기법의 차이가 아니라, 연산과 관계를 유지하면서 서로 변환될 수 있는 1:1 대응 관계를 의미.
   • 2차원 벡터를 점으로 표현하는 방식과 화살표(벡터)로 표현하는 방식은 벡터 공간에서의 동형성을 가지므로 isomorphism의 예가 될 수 있음.
   • 푸리에 변환을 통해 시간 영역과 주파수 영역의 함수 공간이 서로 isomorphic한 관계에 있다는 점은, isomorphism이 단순한 기호 변환이 아니라 본질적인 수학적 구조를 유지하면서 이루어지는 변환이라는 것을 의미함.
   • 정수 덧셈 그룹과 짝수 정수 덧셈 그룹 사이의 동형성은 군론에서의 isomorphism을 보여주는 대표적인 예임.

이처럼 isomorphism은 수학적으로 동일한 구조를 가진 두 대상을 서로 변환하는 연결 고리 역할을 한다.

 

ML에서는 isomorphism보다는 embedding이 보다 많이 애용된다.

embedding의 경우엔

• 서로 다른 차원의 구조 사이에서도 정의되며,
• injective만 만족하면되므로 부분적인 inverse만 존재해도 된다는 차이점을 가짐.

2024.09.28 - [Programming/ML] - [ML] Embedding의 수학적 정의 및 Embedding Layer

[ML] Embedding의 수학적 정의 및 Embedding Layer

---

같이보면 좋은 자료들

2024.09.28 - [Programming/ML] - [ML] Embedding

[ML] Embedding

 

---