[ML] Embedding의 수학적 정의 및 Embedding Layer

https://www.pinecone.io/learn/vector-embeddings/

1. Embedding의 수학적 정의

두 vector space(벡터 공간) $V$와 $E$가 있을 때,
함수 $f: V \to E$가 다음 조건을 만족하면 embedding이라고 정의됨.

1. $f$는 단사 함수(injective function).
   즉, 모든 $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2 \in V$에 대해:
   $f(\textbf{v}_1) = f(\textbf{v}_2) \Rightarrow \textbf{v}_1 = \textbf{v}_2$
2. $f$ 는 연속 함수(continuous function) 임.
3. $f$의 Inverse function $f^{-1}$:
   • $f(V) \to V$는 $f(V) \subset E$의 부분집합에서 $V$ 로 가는 (부분적인) 함수임: $f$가 injective이지 surjective가 아니므로.
   • Embedding의 정의에서 요구되는 건 $E$의 range에서만 정의되는 $f^{-1}$ 이 연속이어야 한다는 점임.
   • 부분적으로 정의되는 역함수 면 충분함.

2021.09.14 - [.../Math] - Function (함수) : 간략 정의

Function (함수) : 간략 정의

 

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2. 머신러닝에서의 응용

2-1. 단어 임베딩 (Word Embedding)

머신러닝, 특히 자연어 처리에서 Word Embedding(단어 임베딩)은 위의 수학적 정의를 다음과 같이 적용:

• $V$: 모든 가능한 words의 set (=사전, discrete set)
• $E$: n-차원 real vector space $\mathbb{R}^n$ (연속 공간)
• $f: V \to E$, words를 embedding(=vector)로 mapping하는 function

사실, ML에서의 Embedding 은 저차원으로 매핑 과 함께 특정 관계(유사성)을 매핑한 공간에서도 유지시키면 되므로 1번의 엄격한 수학적 정의를 반드시 만족시키진 않음 (수학적 정의가 필요한 성질들을 어느정도 가이드해준다고 여겨도 됨).

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Example: Word2Vec 모델

• $\text{king} \to f(\textbf{v}_{\text{king}}) = \begin{bmatrix} 0.1 & -0.5 & 0.8 & \dots 0.3 \end{bmatrix}^\top \in \mathbb{R}^{300}$
• $\text{queen} \to f(\textbf{v}_{\text{queen}}) = \begin{bmatrix} 0.2 & -0.4 & 0.7 & \dots 0.4 \end{bmatrix}^\top \in \mathbb{R}^{300}$

이 때, function $f$는 다음 특성을 가짐:

1. Injectivity: 서로 다른 단어는 서로 다른 벡터로 매핑함.
2. continuous: 의미적으로 유사한 단어들은 벡터 공간에서 가까운 위치에 mapping함

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2-2. 거리 보존 (Distance Preservation)

임베딩 $f$는

• 원래 공간 $V$의 "Semantic Distance(의미적 거리)"를
• 목표 공간 $W$의 유클리드 거리로 근사화 를 수행함:

$$
d_V(\textbf{v}_1, \textbf{v}_2) \approx |f(\textbf{v}_1)-f(\textbf{v}_2)|_2
$$

where

• $d_V(\textbf{v}_1, \textbf{v}_2)$ 는 space V에서의 $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2$ 간의 semantic distance function.

이를 통해 Embedding $f$는

"왕"과 "여왕" 사이의 관계가 "남자"와 "여자" 사이의 관계와 유사함을

다음과 같이 벡터 연산으로 표현할 수 있음:

$$
f(\textbf{v}_킹)-f(\textbf{v}_남)+f(\textbf{v}_여)\approx f(\textbf{v}_퀸)
$$

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Example of distance function:

https://dsaint31.me/mkdocs_site/DIP/cv2/etc/dip_metrics/#distance-function-or-metric

BME

2023.07.23 - [.../Math] - [ML] Cosine Similarity

[ML] Cosine Similarity

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3. 딥러닝에서의 구현

신경망에서 임베딩 층(Embedding Layer)은 다음과 같이 구현됨:

$$
E: V \to \mathbb{R}^d \\ E(\textbf{v})=W^\top\textbf{v}
$$

where,

• $W \in \mathbf{R}^{(|V|\times d)}$는 Trainable Weight Matrix 임.
• $|V|$ 는 사전에 포함된 words의 수를 의미
  • the set of words에 해당하는 $V$의 cardinality (set에 포함된 elements의 수)
  • one-hot encoding을 사용하는 input vector의 component수.
• $d$ : embedding 의 차원 (= output dimensionality)

이 Embedding Layer 는

• backpropagation을 통해 학습
• 특정 task의 loss function을 최소화하는 방향으로 학습이 이루어짐.

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3-1. PyTorch

PyTorch의 nn.Embedding 레이어는 기본적으로 선형 변환 만을 수행.

• 구현:
  • 학습 후 주어진 입력 index에 대응하는 embedding vector (dense vector)를 반환.
  • 입력 index에 대응하는 Embedding Matrix의 row를 조회(lookup)하여 반환.
• 활성화 함수: 포함되어 있지 않음

import torch.nn as nn

embedding_layer = nn.Embedding(
                        num_embeddings, # the total num of unique items (input)
                        embedding_dim,  # ndim of embeddings
                  )

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3-2. Keras (TensorFlow)

Keras의 Embedding 레이어 역시 기본적으로 선형 변환 만을 수행.

• 구현:
  • 학습 후 주어진 입력 index에 대응하는 embedding vector (dense vector)를 반환.
  • PyTorch와 유사하게 Embedding Matrix에서 해당 인덱스의 row vector를 조회하여 반환.
• 활성화 함수: 포함되어 있지 않음

from tensorflow.keras.layers import Embedding

embedding_layer = Embedding(
                      input_dim,  # size of dictionary + 1 (0번 index포함)
                      output_dim, # ndim of embeddings 
                  )

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3-3. 비선형성 추가 방법

두 프레임워크 모두 Embedding 레이어 자체에는 Non-Linear Activation 함수가 포함되어 있지 않음

비선형성을 추가하려면 다음과 같은 방법을 사용할 수 있음:

1. Embedding 레이어 뒤에 별도의 Activation Function Layer 추가
2. 커스텀 Embedding 레이어 구현
3. 모델 구조에서 Embedding 레이어 다음에 Dense 와 Activation Function 추가

위의 방법에서 Activation Function은
non-linear여야 비선형성이 추가됨.

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같이보면 좋은 자료들

https://gist.github.com/dsaint31x/21354c4eb74686ad432b1eb1bf64dc59

ML_Embedding.ipynb

2024.09.28 - [Programming/ML] - [ML] Embedding

[ML] Embedding:

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