[LA] Elementary Row Operation Matrix

해당하는 Elementary Matrix 만드는 방법

Elementary Row Operations는 기본적으로

• 단위 행렬(identity matrix)에
• 원하는 Row Operation에 해당하는 특정 변환을 적용하여 생성함.

interchanging (or swap)을 제외하곤 Lower Triangular Matrix임.

 

2024.02.17 - [.../Linear Algebra] - [LA] Row Operations and Row Equivalent

[LA] Row Operations and Row Equivalent

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각 연산의 Elementary Row Operation Matrix를 다음의 예제로 살펴볼 것.

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1. 행 교환 (Row Swapping or Interchanging)

두 행의 위치를 서로 교환하는 경우, 단위 행렬에서 두 행을 바꿔치기함.

예시:$E_{swap}$: 행렬의 1행과 2행을 교환하는 행렬.

$$
E_\text{swap} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
$$

• $E_\text{swap}$을 원래 행렬 $A$에 곱하면 1행과 2행이 교환됨:

$$
E_\text{swap}  A =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{11} & a_{12} \\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix}.
$$

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2. 행 스칼라 곱 (Row Scaling)

한 행의 모든 원소를 특정 Non-zero Scalar $k$ 로 곱하는 경우.

예시: $E_{scale}$: 2행을 $k = 3$으로 스케일링하는 행렬.

$$
E_\text{scale} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
$$

• $E_\text{scale}$을 $A$에 곱하면 2행이 3배로 스케일됨:

$$
E_\text{scale}  A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
3a_{21} & 3a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix}.
$$

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3. 행 덧셈 (Row Addition or Replacement)

한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더하는 경우.

예시: $E_\text{add}$: 2행에 1행의 2배를 더하는 행렬.

$$
E_\text{add} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
$$

• $E_\text{add}$를 $A$에 곱하면, 2행이 $R_2 + 2 R_1$로 대체됨:

$$
E_\text{add}  A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} + 2a_{11} & a_{22} + 2a_{12} \\
a_{31} & a_{32}
\end{bmatrix}.
$$

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종합 정리:

• 행 교환: 단위 행렬에서 두 행의 위치를 교환.
• 행 스칼라 곱: 단위 행렬의 특정 행을 스칼라 값으로 곱함.
• 행 덧셈: 단위 행렬의 한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더함.

이들은 모두 Identity Matrix에 해당 Row Operation을 가하여 얻어짐.

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