[LA] Row Operations and Row Equivalent

linear algebra에서는 "row operations"와 유사하게 "column operation"도 존재.
이 두 유형의 operations은 matrix를 다룰 때 중요한 tool로, matrix의 성질을 조사하거나 특정한 형태(Echelon form등)로 변환하는 데 사용.

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Elementary Row Operations (행 연산)

row operations은 matrix의 row에 적용되는 operations로, 다음 세 가지 기본 유형이 있습니다:

1. 행 교환 (Row Swapping or Interchanging): 두 행의 위치를 서로 교환합니다.
2. 행 스칼라 곱 (Row Scaling): 한 행의 모든 원소를 비제로 스칼라 값으로 곱합니다.
3. 행 덧셈 (Row Addition or Replacement): 한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더합니다.

이러한 row operation 은 matrix을 간단한 형태로 만들거나, determinant의 계산, inverse matgrix 구하기,  solution 구하기 등등에 사용됨.

 

linear system의 augmented matrix에서 solution을 구하기 위한 row reduction alogrithm에서 위의 세가지 elementary row operations가 사용됨.

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Elementary Column Operations (열 연산)

column operations은 앞서 row operations과 비슷하지만 column을 대상으로 적용되는 operation.

역시 세 가지 기본 유형이 있습니다:

1. 열 교환 (Column Swapping): 두 열의 위치를 서로 교환합니다.
2. 열 스칼라 곱 (Column Scaling): 한 열의 모든 원소를 비제로 스칼라 값으로 곱합니다.
3. 열 덧셈 (Column Addition): 한 열에 다른 열의 스칼라 배를 더합니다.

column space를 조작하는 등에 사용되지만, 많은 교과서에서는 row operations를 보다 많이 사용함.

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Row Equivalent (and Column Equvalent).

앞서 다룬 elementary row operations 만을 이용하여 여러차례 row operations를 가해서

특정 matrix $A$를 다른 matrix $B$로 바꾸었다면,

$A$와 $B$는 row equivalent하다고 말한다.

 

row equivalent인 두 matrix는 같은 solution set을 가진다.

즉, row operations는 matrix의 solution을 변경하지 않음을 알 수 있다.

 

또한 row operations는 reversible하기 때문에 $B$로부터 다시 $A$를 반드시 구할 수도 있다.

 

참고로 column equivalent라면, column operations를 사용한 경우에 해당한다: 특성은 같다 (solution은 변하지 않음. reversible)