[LA] Pivot and Pivot Column

Pivot (position)

Matrix의 row echelon form(REF)에서 leading entry들의 위치를 가르킴.

• leading entry : row에서 0이 아닌 첫번째 element를 가르킴.
• 실제로 REF나 RREF나 pivot position은 같음.
• RREF는 matrix에 대해 unique하게 결정됨 : Pivot역시 고정됨!

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Pivot column

Matrix에서 Pivot (or Pivot position)을 포함하고 있는 column.

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Example

다음의 matrix $A$에서 pivot position과 pivot column을 구하라.

$$A= \begin{bmatrix} 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \end{bmatrix}$$

Solution

$A$의 REF를 구하면 (row-deduction algorithm 또는 Gauss elimination을 사용) 다음과 같음.

$$\begin{bmatrix} \color{red}{1} & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & \color{red}{2} & 4 & -6 & -6 \\ 0 &0 &0 & \color{red}{-5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

• 붉은 색의 element들의 위치가 바로 pivot임.: (1,1),(2,2), (3,4)
• pivot column은 1,2,4 열임.

즉, 원래 $A$에서 표시하면 다음과 같음.
$$A= \begin{bmatrix} \color{red}{0} & -3 & -6 & 4 & 9 \\ -1 & \color{red}{-2} & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & \color{red}{3} & -1 \\ 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \end{bmatrix}$$

• Pivot은 위치임.
• 즉, matrix에 따라 해당 위치의 값이 0일 수 있다.(물론 이 경우 matrix는 REF 및 RREF가 아님.)