[LA] Affine Combination, Affine Hull and Affine Set

Affine Combination

여러 points (or vectors)를 linear combination 할 때, weights의 합을 1로 제한한 경우.

즉, weights 의 합이 1로 제한된다는 조건이 붙은 특별한 linear combination임.

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정의

주어진 vectors $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2,\cdots, \textbf{v}_p$와 scalars $c_1,\cdots, c_p$에 대해,

affine combination은 weight로 사용되는 scalars가 $c_1+\cdots +c_p = 1$를 만족하는 linear combination.

• 위의 정의에서 주어진 vectors를 position vector로 해석하면 points로 볼 수도 있음.
• Affine combination은 주로 기하 등에서 사용되기 때문에 points로 보는 경우가 많음.

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linear combination과 비교.

affine combination은 일종의 linear combination이기 때문에 관련된 정의들에서 많은 부분 유사함.

 

예를 들어, linear combination에서의 Span 의 개념이 affine comination에서는 affine hull 로  대응함.

 

• Span: 주어진 vector set의 모든 vectors의 linear combination으로 이루어지는 vectors로 구성된 vector set.
• Affine hull: 주어진 point set (or vector set)의 모든 points의 affine combination으로 이루어지는 points (or vectors)로 구성된 point set (or vector set).
  • 이같은 정의상의 유사성 때문에 affine hull을 affine span이라고도 부름.

두 개의 linearly independent vectors로 구성된 vector set $S$에서

• 이에 대한 Span $S$은 $\mathbb{R}^2$라는 vector space를 구성하는 반면,
• Affine hull, aff $S$은 두 vector의 끝점을 지나는 line을 가르킴.

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Affine Set이란?

어떤 set이 affine이라고 하면 (=어떤 set $S$가 affine set임.)

해당 집합 $S$와 aff $S$가 같은 경우를 애기함.

 

Affine set의 정의는 다음과 같음.

A set $S$ is affine if and only if every affine combination of points of $S$ lies in $S$.
That is,
$S$ is affine if and only if $S = \text{aff }S$.

 

즉, 다음과 같이 affine set을 정의할 수 있음.

 

A set $S$ is affine if $\textbf{p},\textbf{q} \in S$ implies (= $\textbf{p},\textbf{q} \in S$이면) that $(1- t) \textbf{p} \pm t\textbf{q} \in S$ for each real number $t$.

 

좀더 직관적으로 애기하면,

어떤 set이 affine set이 되려면 set에 속한 임의의 두 points으로 line을 만들어서 그 직선이 해당 set에 포함되는지를 보면 된다.

line이 포함된다는 의미는 boundary가 없다는 의미로써, 어떤 set 이 boundary가 있다면 affine set이 될 수 없다

 

때문에 affine set은

• point(점), line(선), plane(평면), hyperplane(초평면)과 같이
• linearity (affine combination이 일종의 linear combination이므로)를 가지고 있으면서
• boundary가 없는 set을 가르킴.

이를 보다 전문적인 용어로 애기하면

nonempty affine set은 (linear) subspace를 translation한 것으로 flat을 구성한다.

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참고: convex combination

참고로,

Affine combination에 weights에 해당하는 scalars가 모두 positive라는 조건이 붙는 convex combination의 경우,

Convex hull 이 존재함: set $S$에서의 convex hull은 "conv $S$"라고 표기됨.

• 이는 linear combination의 Span과
• affine combination의 affine hull에 대응.

앞서 두개의 linearly independent한 vectors의 예를 convex hull에 적용하면,

line segment(선분)을 이룸.

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참고하면 좋은 URLs

2024.02.16 - [.../Linear Algebra] - [LA] linear combination

[LA] linear combination

2024.01.03 - [.../Math] - [LA] Linear and Affine

[LA] Linear and Affine