[LA] Linear and Affine: Summary

Linear vs. Affine

linear combination과 linear transform에 같은 linear가 붙는 이유

• 둘 다 원점을 기준으로 한 vector space에서
• scaling과 addition으로 표현되며,
• 원점 고정성(origin-fixing property)과 선형성(linearity) 같은 linear structure를 사용하는 개념이기 때문임.

affine combination과 affine transform에 같은 affine이 붙는 이유

• 둘 다 원점에 고정되지 않고 translation을 허용하면서도,
• 점들 사이의 상대적 위치·직선성·평행성 같은 affine structure를 보존하는 개념이기 때문임.

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Linear Combination과 Affine Combination

Linear Combination은 Affine Combination의 generalization이라고 볼 수 있음.

이는 Affine Combination이
Linear Combination의 Special Case임을 의미함.

 

Linear Algebra에서 Linear Combination:

Vector $\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\cdots,\textbf{v}_p$ in $\mathbb{R^n}$ 들의 Linear Combination $\textbf{y}$의 정의는 아래와 같음.

$$\textbf{y}=c_1\textbf{v}_1+\cdots+c_p \textbf{v}_p$$

where, $c_1,c_2,\cdots,c_p$ 은 scalar임.

Linear Combination은
linear equation 또는 weighted sum 등등으로도 불림.

Affine Combination은 Linear Combination에 다음과 같은 조건이 하나 추가된 것임.

$$c_1+c_2+\cdots+c_p=1$$

 

참고: https://www.notion.so/dsaint31/1-3-Vector-Equations-e36e05a5fa864719bf8fd39c49f83cc9?pvs=4#902e94ceef1b42868be5e13ecad8b940

 

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Linear Transform과 Affine Transform

Linear Transform은 Affine Transform의 special case라고 볼 수 있음.

 

Linear Transform은
Affine Transform에서 translation term이 없는 경우

 

Linear Algebra에서 Linear Transform은 다음과 같음.

Vector $\textbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 에 대한 Linear Transform $\textbf{y}$ 의 정의는 아래와 같음.

$$\textbf{y}=W\textbf{x}$$

• $W$ 는 matrix임.

즉, Linear Transform은 입력 vector $\textbf{x}$에 matrix $W$를 곱하여 새로운 vector $\textbf{y}$를 만드는 변환임.

 

Linear Transform은 다음 조건을 만족함.

$$T(\textbf{0})=\textbf{0}$$

 

즉, Linear Transform은 항상 원점을 원점으로 보냄.

 

Affine Transform은 Linear Transform에 다음과 같은 translation term이 하나 추가된 것임.

$$\textbf{y}=W\textbf{x}+\textbf{b}$$

• $W$ 는 matrix이고,
• $\textbf{b}$ 는 bias 또는 translation vector임.

 

Affine Transform에서는 일반적으로 다음이 성립함.

$$T(\textbf{0})=\textbf{b}$$

따라서 $\textbf{b} \ne \textbf{0}$ 이면 원점을 원점으로 보내지 않음.

 

정리하면, 다음과 같음:

• 즉, Affine Transform은 Linear Transform 이후에 translation을 추가한 변환임.
• 반대로 Linear Transform은 Affine Transform에서 $\textbf{b}=\textbf{0}$ 인 특수한 경우임.

https://dsaint31.me/mkdocs_site/DIP/cv2/ch02/dip_geometric_transformation/?h=affine#linear-transformation

BME

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Span과 Affine Hull

Span과 Affine Hull의 관계는 Linear combination과 Affine combination의 관계에 대응된다.

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Span의 정의는 다음과 같음.

 

주어진 Vector들에 대한 Span은 해당 vector들의 Linear Combination을 모두 포함하고 있는 Vector Set을 의미한다.

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Affine Hull (or Affine Span)의 정의는 다음과 같음.

 

주어진 Vector들에 대한 Affine Hull은 해당 vector들의 Affine Combination을 모두 포함하고 있는 Vector Set을 의미한다.

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Affine Set이란?

Affine Set은 Vector들을 요소로 가지는 Set의 일종으로 다음을 만족함.

 

Affine Set $S$는 자신에 속한 모든 element(vector들임)들로 구성되는 Affine Combination들 또한 포함하고 있음.

 

즉, Set $S$가 Affine이라는 의미는 $S$가 Affine Hull of $S$와 동일하다는 의미임.

 

$$S=\text{aff } S$$

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Flat(평탄)과 Affine의 관계

Flat은 Non-Empty Affine Set $S$에 해당한다.

 

Flat은 기하하적으로 생각하면, 점, 선, 면 들과 같은 것에 해당하며, $\mathbb{R}^n$의 subspace의 translation 임.

$\mathbb{R}^n$은 the collection of all lists (or ordered $n$-tuples) of $n$ real numbers 를 의미함.
$n$개의 component를 가지는 모든 real number vector들을 포함하는 집합이라고 생각할 수 있음.
흔히 Real number vector로 구성된 $n$차원의 vector space라고 보면 됨.

 

Thus the proper flats in $\mathbb{R}^3$ are

• points (zero-dimensional),
• lines (one-dimensional), and
• planes (two-dimensional),

which may or may not pass through the origin.

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같이보면 좋은 URLs

2024.02.16 - [.../Linear Algebra] - [LA] Affine Combination, Affine Hull and Affine Set

[LA] Affine Combination, Affine Hull and Affine Set

 

2024.02.16 - [.../Linear Algebra] - [LA] linear combination

[LA] linear combination

 

https://dsaint31.me/mkdocs_site/DIP/cv2/ch02/dip_geometric_transformation/?h=affine#linear-transformation

BME

 

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