[LA] Linear and Affine: Summary

Linear Combination과 Affine Combination

Linear Combination은 Affine Combination의 generalization이라고 볼 수 있음.

이는 Affine Combination이
Linear Combination의 Special Case임을 의미함.

 

Linear Algebra에서 Linear Combination은 다음과 같음.
Vector $\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\cdots,\textbf{v}_p$ in $\mathbb{R^n}$ 들의 Linear Combination $\textbf{y}$의 정의는 아래와 같음.

$$\textbf{y}=c_1\textbf{v}_1+\cdots+c_p \textbf{v}_p$$

where, $c_1,c_2,\cdots,c_p$ 은 scalar임.

Linear Combination은
linear equation 또는 weighted sum 등등으로도 불림.

Affine Combination은 Linear Combination에 다음과 같은 조건이 하나 추가된 것임.

$$c_1+c_2+\cdots+c_p=1$$

 

참고: https://www.notion.so/dsaint31/1-3-Vector-Equations-e36e05a5fa864719bf8fd39c49f83cc9?pvs=4#902e94ceef1b42868be5e13ecad8b940

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Span과 Affine Hull

Span과 Affine Hull의 관계는 Linear combination과 Affine combination의 관계에 대응된다.

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Span의 정의는 다음과 같음.

 

주어진 Vector들에 대한 Span은 해당 vector들의 Linear Combination을 모두 포함하고 있는 Vector Set을 의미한다.

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Affine Hull (or Affine Span)의 정의는 다음과 같음.

 

주어진 Vector들에 대한 Affine Hull은 해당 vector들의 Affine Combination을 모두 포함하고 있는 Vector Set을 의미한다.

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Affine Set이란?

Affine Set은 Vector들을 요소로 가지는 Set의 일종으로 다음을 만족함.

 

Affine Set $S$는 자신에 속한 모든 element(vector들임)들로 구성되는 Affine Combination들 또한 포함하고 있음.

 

즉, Set $S$가 Affine이라는 의미는 $S$가 Affine Hull of $S$와 동일하다는 의미임.

 

$$S=\text{aff } S$$

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Flat(평탄)과 Affine의 관계

Flat은 Non-Empty Affine Set $S$에 해당한다.

 

Flat은 기하하적으로 생각하면, 점, 선, 면 들과 같은 것에 해당하며, $\mathbb{R}^n$의 subspace의 translation 임.

$\mathbb{R}^n$은 the collection of all lists (or ordered $n$-tuples) of $n$ real numbers 를 의미함.
$n$개의 component를 가지는 모든 real number vector들을 포함하는 집합이라고 생각할 수 있음.
흔히 Real number vector로 구성된 $n$차원의 vector space라고 보면 됨.

 

Thus the proper flats in $\mathbb{R}^3$ are

• points (zero-dimensional),
• lines (one-dimensional), and
• planes (two-dimensional),

which may or may not pass through the origin.

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2024.02.16 - [.../Linear Algebra] - [LA] Affine Combination, Affine Hull and Affine Set

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[LA] linear combination

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