Consistent Linear System
만약 Linear system이 consistent하다는 애기는 다음과 equivalent임.
- 해당 system의 augmented matrix에서 pivot column vector가 맨 오른쪽의 column이 되는 경우가 없음.
- 이는 REF (row echelon form)로 augmented matrix를 표시할 때, 0⊤|b 와 같은 row가 없다는 애기임. (여기서 0⊤은 zero row vector로 bold체로 표시됨.)

Linear system이 consistent 할 경우 다음 두가지 경우 중 하나임.
- unique solution을 가짐 : 이 경우 free variable이 없음. (즉, REF에서 all zero row가 없음.)
- infinitely many solution을 가짐 : 이 경우 free variable이 존재. (즉, REF에서 all zero row가 존재.)
참고로 pivot의 숫자가 바로 basic variable의 숫자임.
- basic variable: leading entry에 해당하는 variable로서
- completely determined (특정 값으로 결정됨) 이거나
- free varaiable이 존재하는 경우엔, 다른 variable들에 의해 값이 결정됨. leading variable이라고도 불림.
- free variable: REF에서 all zero row에 해당하는 variable임.
2024.02.17 - [.../Linear Algebra] - [LA] Pivot and Pivot Column
[LA] Pivot and Pivot Column
Pivot (position) Matrix의 row echelon form(REF)에서 leading entry들의 위치를 가르킴. leading entry : row에서 0이 아닌 첫번째 element를 가르킴. 실제로 REF나 RREF나 pivot position은 같음. RREF는 matrix에 대해 unique하게
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Example
다음과 같은 RREF (reduced echelon form)를 가지는 linear 시스템의 경우를 살펴보자.
[10−5101140000]
위와 equivalent인 연립방정식 표현은 다음과 같음.
x1−5x3=1x2+x3=40=0
이 경우, pivot에 해당하는 x1과 x2는 basic variable이라고 불리며, 아닌 x3는 free variable이 됨.
solution은 다음과 같이 표현된다.
x1=1+5x3x2=4−x3x3 is free
- 위와 같은 형태를 parametric description of solution sets이라고 함. 여기서 parameter는 x3임.
- 주의할 것은 대수적 변환을 통해 x2를 parameter로 한 parameter description도 가능하다는 점임.
- basic variable의 수가 2개이고 free variable이 1개라는 사실은 변하지 않으나 free variable은 x3, x2 중 하나가 될 수 있음.
Solution에 대한 General form의 경우,
REF에서 leading entry(Pivot)를 통해 basic variable로 삼고,
all zero row로 free variable을 결정.
이 예제는 위에서 보였듯이 infinitely many solution을 가진 경우임.
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2024.02.16 - [.../Linear Algebra] - [LA] Linear Equation (선형 방정식) and Linear System 정리.
[LA] Linear Equation (선형 방정식) and Linear System 정리.
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