[LA] Linear Equation (선형 방정식) and Linear System 정리.

Linear Equation

linear equation(선형 방정식)은

• variables(변수들) $x_1, \cdots, x_n$에 대한 equation(방정식)으로,
• $a_1, \cdots, a_n$와 같은 real (or complex) scalar coefficients(계수들, weights) 와
• real (or complex) scalar $b$를 사용하여

다음과 같은 형태로 표현됨.:

 

$$a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b$$.

 

degree가 1인 polynomial equation이기 때문에 1차 방정식이라고도 불림.

Polynomial Equation(다항식 에 대한 자세한 내용): 2023.06.03 - [.../Math] - [Math] Monomial and Polynomial (단항식 과 다항식)

 

위의 Linear Equation의 수식에서 variable 각각을 variable vector로 일반화 (이 경우 right side도 vector가 됨)하면,
left side를 linear combination이라고 지칭함: vector $\mathbf{b}$를 linear combination으로 표현한 것이 됨.

2024.02.16 - [.../Linear Algebra] - [LA] linear combination

[LA] linear combination

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System of Linear Equations (=Linear Systems)

• 연립일차방정식을 가르킴.
• 여러 linear equations로 구성됨.
• Linear algebra의 기본이며, 흔히 vector나 matrix를 이용한 표기를 사용함.

예시

다음은 linear system의 한 예임 (3개의 linear equations로 구성)

$$\begin {aligned}
x_1 +2x_2 &= 7 \\
-2x_1 +5 x_2 &= 4 \\
-5 x_1 + 6 x_2 &= -3
\end {aligned}$$

 

이를 vector equation으로 표현하면 다음과 같음.

$$ x_1\begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ -5 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}2 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix} $$

 

참고로 이를 augmented matrix로 표현하면 다음과 같음 (coefficient matrix가 아님에 주의).

$$ \begin {bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \end {bmatrix}$$

 

이를 matrix equation으로 표현하면 다음과 같음.

$$ \begin {bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 5 \\ -5 & 6 \end {bmatrix}\begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 7 \\ 4 \\ -3 \end {bmatrix}$$

 

이들은 모두 표현방법만 다를 뿐 solution (해)을 공유하는 equivalent (=solution이 같은 경우를 가르킴)를 만족한다.

즉, 가장 편한 방식으로 골라 쓸 수 있음.

 

다시 한번 말하지만, linear algebra에서는 vector와 matrix를 통해 linear system을 다루는게 일반적임.

linear system은 보통 가장 compact form인 Matrix Equation을 사용한다.

$$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$

where

• $A$: Coefficient Matrix
• $\mathbf{b}$: Constant Vector
• $\mathbf{x}$: Variable Vector. Matrix Equation(=Linear System)이 성립하게 하는 $\mathbf{x}$들의 집합을 solution set이라고 부름.

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Solution and Solution Set

• Solution (해): Linear System의 linear equations가 모두 true statement가 되게 하는 변수 값들의 list.
• Solution Set: 가능한 모든 Solution들을 element로 가지는 set(집합)

2022.05.19 - [.../Math] - [Math] 필요조건, 충분조건, 필요충분조건

[Math] 필요조건, 충분조건, 필요충분조건

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Equivalent (항등, 동치)와 Consistence

두 Linear Systems 가 solution set을 공유할 경우, 이 두 system이 equivalent라고 표현함.

 

Linear System에서 Solution은 다음 세가지 중 하나에 해당함.

1. solution이 없는 경우 : inconsistent system.

2. 하나의 solution만 존재: unique solution

3. 무수히 많은 solution이 존재: infinite solution set

 

2,3의 경우, 해당 linear system이 consistent하다라고 애기함.

2024.02.17 - [.../Linear Algebra] - [LA] Existence and Uniqueness Theorem

[LA] Existence and Uniqueness Theorem

equivalent를 실제로 연립방정식을 푸는데 사용하는 경우에는 row-equivalent임:

https://dsaint31.tistory.com/666#Row%20Equivalent%20(and%20Column%20Equvalent).-1-2

[LA] Row Operations and Row Equivalent

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같이 읽어보면 좋은 자료들

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