[LA] Gram-Schmidt Process and QR Decomposition

Gram-Schmidt Process는
임의의 Subspace $W$에서
Orthogonal Basis (or Orthogonomal Basis)를 찾는 과정임.

 

0. Prerequisite

우선 다음을 기억하자

• Basis에 속하는 Vector들로 Span 하면, Subspace $W$ 내의 모든 Vector를 표현가능!
• Basis 에 속하는 모든 Vector들이 서로 서로 Linear Indepedent임
• 만약 한 걸음 더 나아가 Basis의 모든 Vector들이 서로 Orthogonal인 경우, 해당 Basis는 Orthogonal Basis 이 됨.
• 한 걸음 더 나아가 Basis의 모든 Vector 들의 L2-Norm이 1이 되면(unit vector), 해당 Basis는 Orthonormal Basis임.

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[Math] Basis

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[Math] Definition of Vector Space and Sub-Space

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1. Gram-Schmidt Process

임의의 Subspace $W$는 Basis로 정의가 되기 때문에,
결국 Gram-Schmidt Process는 주어진 Linearly Independent Vector Set (=Basis)를
Orthogonal Vector Set(직교집합)으로 변환시킴.

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1-1. Algorithm

주어진 $W$의 Basis (=선형 독립 벡터 집합) ${\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n}$에서,
Gram-Schmidt Process는 다음과 같이 적용되어
새로운 Orthogonal Set ${\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n}$를 생성:

1. 첫 번째 벡터를 초기화:

$$\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1$$

2. 두 번째 벡터부터 시작하여 직교화:

$$\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k - \sum_{i=1}^{k-1} \text{proj}_{\mathbf{u}_i}(\mathbf{v}_k)$$

• 여기서
  • $\text{proj}_{\mathbf{u}_i}(\mathbf{v}_k)$는 $v_k$가
  • $\mathbf{u}_i$ 위로 Orthogonal Projection 된 성분으로
  • 다음과 같이 계산됨:

$$\begin{aligned}\text{proj}_{\mathbf{u}_i}(\mathbf{v}_k) &= \frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_i \rangle}{\langle \mathbf{u}_i, \mathbf{u}_i \rangle} \mathbf{u}_i \\ &= \frac{ \mathbf{v}_k^\top \mathbf{u}_i}{\| \mathbf{u}_i \|^2}\mathbf{u}_i\end{aligned}$$

2022.05.19 - [.../Math] - [Math] Orthogonal Projection (정사영)

[Math] Orthogonal Projection (정사영)

3. $u_k$ 벡터를 계산한 후, 필요하면 Normalization(정규화)하여 Unit Vector(단위 벡터)를 생성:

$$\mathbf{e}_k = \frac{\mathbf{u}_k}{\|\mathbf{u}_k\|}$$

Gram-Schmidt Process는 다음의 정리로 이어짐:
$\{ \mathbf{0} \}$ 가 아닌 임의의 Subspace $W$는
항상 Orthogonal Basis를 가짐!

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1-2. Proof

증명은 다음을 참고

https://youtu.be/4xSgl2nkZ5w?si=MQtnrcRspopUp4kD

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2. QR Decomposition

QR Decomposition 는 행렬 $A$ 를 두 행렬 $Q$와 $R$의 곱으로 나타내는 방법임.
여기서:

• $Q$ 는 Orthogonal Matrix(직교 행렬) ($Q^\top Q = I$).
• $R$ 은 Upper Triangular Matrix(상삼각 행렬).

2022.11.17 - [.../Math] - [LA] Orthogonal matrix (직교행렬)

[LA] Orthogonal matrix (직교행렬)

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2-1. 정의

주어진 $m \times n$ 행렬 $A$에 대해:

$$A = Q R$$

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2-2. QR Decomposition과 Gram-Schmidt의 관계

• Gram-Schmidt Process는 QR Decomposition의 주요 알고리즘 중 하나로 사용됨.
  • Gram-Schmidt Process 는 수치해석적으로는 거의 사용되지 않음 (수치적 불안정성 등의 문제를 가짐)
  • 하지만, 개념적인 이해가 가장 쉽고, 이에 대한 구현물들의 이론적으로 설명하는 가장 좋은 방법임.
  • 즉, 개념적으로는 Gram-Schmidt Process에 의해 구해진다고 봐도 되나,
    실제 LANPACK등의 구현은 다른 방식(Householder, Givens 등등)을 취함.
• $A$의 Column Vectors에 대해 Gram-Schmidt를 수행하면:
  • $Q$: $A$의 Column Vectors를 Orthogonalization한 직교화한 벡터들을 column으로 가짐
    • Unit Vector로 처리하는게 일반적이나 강제적은 아님.
    • 가지고 있는 column들이 서로서로에 대해 최소한 orthogonal함 (대부분 orthogonormal 함).
    • Complete Form의 경우, 항상 square matrix로 만들어짐: $Rank(A)$ 보다 크거나 같은 rank를 가질 수 있음.
  • $R$: Orthgonalization(직교화 과정)에서 계산된 Scalar Coefficient로 구성됨(Upper Triangular Matrix).

QR Decomposition에서는
$Q$를 Orthonomal (최소한 Orthogonal) Column Vector를 가지도록 처리함.

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2-3. 알고리즘

1. 주어진 행렬 $A$의 Column Vectors를 ${\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n}$라고 하자.
2. Gram-Schmidt Process를 사용하여 $Q = { \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \dots, \mathbf{q}_n] }$ 을 계산.
3. $R$ 행렬의 $r_{ij}$는 다음과 같이 구해짐:
   $$
   r_{ij} =
   \begin{cases}
   \langle a_j, q_i \rangle & i \leq j \\
   0 & i > j
   \end{cases}
   $$

위의 알고리즘을 수식적으로 표현하면 다음과 같음:
$$\begin{aligned}A&=QR \\ Q^\top A&=Q^\top QR \\ Q^\top A&=IR \\ Q^\top A&=R \\ \quad \\ \therefore R&=Q^\top A\end{aligned} $$

• $Q$는 Orthogonal (or Orthonormal) Basis를 Column으로 가지므로, $Q^\top Q=I$가 됨.
  • 각 Column은 서로에 대해 Orthogonal 이므로 자기 자신과 inner product가 될 경우에만 값을 가지고, 나머지는 모조리 0이 됨: 즉, $Q^\top Q$ 등은 Diagonal matrix 가 됨.
  • $Q$의 Column들은 Orthonormal Basis를 이룰 경우, 자기자신과의 dot product의 결과는 모두 1임: $Q^\top Q = I$

 $Q^\top A$에서 $R$의 Diagnoal ($r_{kk}$)에 Negative인 수가 있을 경우, 대응되는 $Q$의 Column $\mathbf{q}_k$에 -1을 곱해주고, 해당 $r_{kk}$ ~ $r_{kn}$들에 -1을 곱해줌 (해당 대각 성분이 속한 행에 -1을 곱하는 것임.)

 

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3. QR Decompostion의 종류

앞서 수식적인 표현은 $A$가 (Square) Full Rank인 경우임.

QR Decomposition은 Square Matrix가 아닌 경우에도 적용가능하며, Rank Deficient Matrix인 경우도 적용가능함.

• 만약 $A$가 Full Column Rank Matrix가 아닌 경우, $R$은 완벽한 Upper Triangular Matrix가 아님.
  • $\text{Rank} (A)=r$인 경우, $R$의 $r+1$ 행들은 모두 0이 됨.
• $Q$가 항상 Square Matrix로 나오는 경우는 Complete QR Decomposition이고,
  Rectangular Matrix가 되는 경우는 Reduced QR Decomposition임.
  • Complete 의 경우, $Q$는 rank가 $A$보다 크거나 같음: $\mathbb{R}^m$ Span함!
  • $R$의 rank가 $A$와 항상 같음.

Complete 인지 Reduced 인지에 따른 각 Matrix의 shape는 다음을 참고:

아래 그림에서 "economy"가 Reduced QR Decomposition을 의미함. (원본: Fig 9-4. Practical Linear Algebra for Data Science, Mike X Cohen, O'Reilly)

Sizes of  $Q$  and  $R$  depending on the size of  $A$ . The “?” indicates that the matrix elements depend on the values in  A , i.e., it is not the identity matrix.

 

다음의 NumPy의 예제들로 $A$에 따른 $Q, R$의 shape를 살펴볼 것.

https://gist.github.com/dsaint31x/9c8b3ac9b7851986b43ab9373dd30d65

LA_QR_Decomposition.ipynb

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4. QR Decomposition의 활용

1. Linear Equation (특히 Over-determined System)을 푸는데 활용.

$$\begin{aligned} A \mathbf{x} &= \mathbf{b} \\ QR \mathbf{x} &= \mathbf{b} \\ R \mathbf{x} &= Q^\top \mathbf{b}\end{aligned}$$

• $R$은 Upper Triangular Matrix (아니면 그와 비슷한) 이므로 back substitution으로 쉽게 Solution $\mathbf{x}$를 구할 수 있음.
  • LR Decomposition보다 수치적으로 안정적.
  • Over-Determined System에서 보다 많이 애용됨.

2. Rank 계산에서 유용

• $R$ 에서 Main Diagonal 에서 0이 아닌 갯수를 세면 됨.

3. 직교 기저를 생성하는데 유용: 데이터 정규화 및 직교화.

 

4. Least Square를 푸는데 유용하게 사용 가능.

• 벡터에 Orthogonal Matrix $Q^\top$ 를 곱할 경우, 벡터의 Euclidean Norm이 보존되는 성질을 이용: $\| Q^\top \mathbf{b}\|_2 = \|\mathbf{b}\|_2$

$$\|A\mathbf{x}-\mathbf{b}\|_2^2 = \|QR\mathbf{x}-\mathbf{b}\|^2_2 = \|Q^\top (QR\mathbf{x} - \mathbf{b}) \|^2_2$$

• 여기서 다음이 성립.

$$Q^\top (QR\mathbf{x}-\mathbf{b}) = Q^\top Q R \mathbf{x} -Q^\top \mathbf{b} = R\mathbf{x}-Q^\top \mathbf{b}$$

• 즉, $\|A\mathbf{x} - \mathbf{b}\|^2_2 = \|R\mathbf{x}-Q^\top \mathbf{b}\|_2^2$으로 식을 바꿀 수 있음.
• 이는 $R\mathbf{x}=Q^\top \mathbf{b}$를 만족하는 $\mathbf{x}$가 최적의 solution을 의미함.
• $R$은 Upper Triangular Matrix (아니면 그와 비슷한) 이므로 back substitution으로 쉽게 $\mathbf{x}$를 구할 수 있음.

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같이 보면 좋은 자료들

https://youtu.be/tk6HM0YVL5E?si=Pw7TIWKVUdx2dgAt

https://youtu.be/D7koMV2AeLE?si=4NZWsrF30P5WPDMb

https://youtu.be/KxAX_evOMtw?si=UIF0hR7X_KwFkCTV

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2025.01.21 - [.../Linear Algebra] - [Summary] Linear Algebra (작성중)

[Summary] Linear Algebra (작성중)

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