[Math] Orthogonal Projection (정사영)

Projection $\textbf{x}_1$  onto $\textbf{w}$ (vector $\bf{x}$를 vector $\bf{w}$에 투영) 를 수식으로 표현하면 다음과 같음.

 

$$\text{proj}_\textbf{w}\textbf{x}=\dfrac{\bf{x}\cdot\bf{w}}{\bf{w}\cdot\bf{w}}\bf{w}=\dfrac{\bf{x}\cdot\bf{w}}{\bf{w}^T\bf{w}}\bf{w}=\dfrac{\bf{x}\cdot\bf{w}}{\|\bf{w}\|^2}\bf{w}$$

 

유도과정 은 다음과 같음.

 

위의 그림에서 벡터 $\bf{x}$가 벡터 $\bf{w}$에 내린 orthogonal projection(정사영)인 벡터 $\bf{h}$는

• 벡터 $\bf{w}$에 평행하므로
• $\textbf{h} = t\textbf{w}$ ($t$는 실수, scalar)

 

또, $\bf{x}$는 다음과 같이 표현됨.

• $\textbf{x} = \textbf{y} + \textbf{h}$

 

여기에 이전 식을 대입하면 다음과 같음.

• $\textbf{x} = \textbf{y} + t\textbf{w}$

 

$\bf{y}$는 $\bf{w}$와 수직이므로 $\textbf{y}\cdot\textbf{w} = 0$ 이 성립.

$$\begin{aligned}\textbf{x}\cdot\textbf{w}=\textbf{w}\cdot\textbf{x}&=(\textbf{y}+t\textbf{w})\cdot\textbf{w}\\&=\textbf{y}\cdot\textbf{w}+t(\textbf{w}\cdot\textbf{w})\\&=0+t||\textbf{w}||^2\\&=t||\textbf{w}||^2\end{aligned}$$

 

$t$는 다음과 같음.

$$t=\dfrac{\textbf{w}\cdot\textbf{x}}{||\textbf{w}||^2}$$

 

고로, $\bf{h}$는 다음과 같음.

$$\textbf{h}=t\textbf{w}=\dfrac{\textbf{x}\cdot\textbf{w}}{\|\textbf{w}\|^2}\textbf{w}=\dfrac{\textbf{x}\cdot\textbf{w}}{\textbf{w}\cdot\textbf{w}}\textbf{w}=\dfrac{\textbf{x}\cdot\textbf{w}}{\textbf{w}^T\textbf{w}}\textbf{w}$$

 

덧붙여서 $\textbf{y}$ 를 다음과 같이 나타낼 수 있음.

$$\bf{y}=\bf{x}-\bf{h}$$

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inner product 등의 vector에 대해 익숙치 않으면 다음을 참고.

2022.03.28 - [.../Math] - [Math] Vector (1)

[Math] Vector (1)

 

Orhtogonal projection을 이용한 foot of perpendicular의 Python 구현물은 다음을 참고.

https://ds31x.tistory.com/29

[Python] 특정 점에서 직선에 수선의 발 구하기.

 

Orthogonal projection을 이용한 점과 직선 (또는 평면)의 거리를 구하는 것은 다음을 참고

2022.05.19 - [.../Math] - [Math] Distance between Point and Plane : 점과 직선의 거리

[Math] Distance between Point and Plane : 점과 직선의 거리