[Math] Orthogonal Projection (정사영)

Projection $\textbf{x}_1$  onto $\textbf{w}$ (vector $\bf{x}$를 vector $\bf{w}$에 투영) 를 수식으로 표현하면 다음과 같음.

 

$$\begin{aligned}\text{proj}_\textbf{w}\textbf{x}&=\dfrac{\bf{x}\cdot\bf{w}}{\bf{w}\cdot\bf{w}}\bf{w}=\dfrac{\bf{x}\cdot\bf{w}}{\bf{w}^\top\bf{w}}\bf{w}=\dfrac{\bf{x}\cdot\bf{w}}{\|\bf{w}\|^2}\bf{w}\\&=\dfrac{\bf{x}\cdot\bf{w}}{\|\bf{w}\|} \frac{\bf{w}}{\|\bf{w}\|} \\&=\mathbf{w}\dfrac{\mathbf{x}^\top \mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|^2}=\mathbf{w}\dfrac{\mathbf{w}^\top \mathbf{x}}{\|\mathbf{w}\|^2}=\dfrac{\mathbf{w}\mathbf{w}^\top }{\|\mathbf{w}\|^2}\mathbf{x} = P_\mathbf{w} \mathbf{x}\end{aligned}$$

where,

• $P_\mathbf{w}$ : Projection Matrix로 이 Matrix에 임의의 벡터 $\mathbf{x}$를 곱하면, 벡터 $\mathbf{w}$에 투영이 이루어짐.

 

유도과정 은 다음과 같음.

 

위의 그림에서 벡터 $\bf{x}$가 벡터 $\bf{w}$에 내린 orthogonal projection(정사영)인 벡터 $\bf{h}$는

• 벡터 $\bf{w}$에 평행하므로
• $\textbf{h} = t\textbf{w}$ ($t$는 실수, scalar)

 

또, $\bf{x}$는 다음과 같이 표현됨.

• $\textbf{x} = \textbf{y} + \textbf{h}$

 

여기에 이전 식을 대입하면 다음과 같음.

• $\textbf{x} = \textbf{y} + t\textbf{w}$

 

$\bf{y}$는 $\bf{w}$와 수직이므로 $\textbf{y}\cdot\textbf{w} = 0$ 이 성립.

$$\begin{aligned}\textbf{x}\cdot\textbf{w}=\textbf{w}\cdot\textbf{x}&=(\textbf{y}+t\textbf{w})\cdot\textbf{w}\\&=\textbf{y}\cdot\textbf{w}+t(\textbf{w}\cdot\textbf{w})\\&=0+t||\textbf{w}||^2\\&=t||\textbf{w}||^2\end{aligned}$$

 

$t$는 다음과 같음.

$$t=\dfrac{\textbf{w}\cdot\textbf{x}}{||\textbf{w}||^2}$$

 

고로, $\bf{h}$는 다음과 같음.

$$\textbf{h}=t\textbf{w}=\dfrac{\textbf{x}\cdot\textbf{w}}{\|\textbf{w}\|^2}\textbf{w}=\dfrac{\textbf{x}\cdot\textbf{w}}{\textbf{w}\cdot\textbf{w}}\textbf{w}=\dfrac{\textbf{x}\cdot\textbf{w}}{\textbf{w}^\top\textbf{w}}\textbf{w}$$

 

덧붙여서 $\textbf{y}$ 를 다음과 같이 나타낼 수 있음.

$$\bf{y}=\bf{x}-\bf{h}$$

 

참고로, 이를 Projection Matrix의 개념으로 살펴보면,

$$\begin{aligned}\mathbf{y} &= I \mathbf{x} - P_\mathbf{w} \mathbf{x} \\ P_\mathbf{\perp w}\mathbf{x} &= (I-P_\mathbf{w}) \mathbf{x}\end{aligned}$$

즉, $\mathbf{y}$를 구하기 위한 Projection Matrix $P_\mathbf{\perp w}$를 $I-P_\mathbf{w}$로 구할 수 있음.

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inner product 등의 vector에 대해 익숙치 않으면 다음을 참고.

2022.03.28 - [.../Math] - [Math] Vector (1)

[Math] Vector (1)

 

Orhtogonal projection을 이용한 foot of perpendicular의 Python 구현물은 다음을 참고.

https://ds31x.tistory.com/29

[Python] 특정 점에서 직선에 수선의 발 구하기.

 

Orthogonal projection을 이용한 점과 직선 (또는 평면)의 거리를 구하는 것은 다음을 참고

2022.05.19 - [.../Math] - [Math] Distance between Point and Plane : 점과 직선의 거리

[Math] Distance between Point and Plane : 점과 직선의 거리

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2025.01.21 - [.../Linear Algebra] - [Summary] Linear Algebra (작성중)

[Summary] Linear Algebra (작성중)

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