[Math] Distance between Point and Plane : 점과 직선의 거리

 

position vector $\textbf{x}$ (point $Q$)와 $\textbf{n}\cdot \textbf{p}+b=0$을 만족하는 position vector $\textbf{p}$들로 구성되는 평면(plane $P$)과의 거리는 다음과 같음.

$$d=\dfrac{|\textbf{n}\cdot\textbf{x}+b|}{\|\textbf{n}\|}$$

 

where

• $\|\textbf{n}\|$ : $\textbf{n}$의 L-2 norm (or magnitude, length)임. (엄밀하게 쓰면, $\|\textbf{n}\|_2$)

증명

point $Q$와 plane $P$와의 거리는 plane equation과 projection을 이용하여 구할 수 있음.

2022.05.19 - [.../Math] - [Math] Plane equation : 평면의 방정식

2022.05.19 - [.../Math] - [Math] Orthogonal Projection (정사영)

• 우선 plane $P$에 속하는 임의의 point $P_0$를 선택한다.
  이때 point $P_0$의 position vector는 $\textbf{p}_0$임.

 

• 그림과 같이,
  point $Q$의 position vector가 $\textbf{x}$라고 하면,
  point $P_0$에서 시작해서 point $Q$에서 끝나는 difference vector $\textbf{x}-\textbf{p}_0$가 구해짐.

 

• 우리가 구하고자 하는 거리는 결국
  difference vector $\textbf{x}-\textbf{p}_0$를
  plane $P$의 normal vector인 $\textbf{n}$에 projection을 시킨 vector $\textbf{h}$의 magnitude가 된다.

 

projection의 공식에 따라, $\textbf{h}=\text{Projection}_{\textbf{n}}(\textbf{x}-\textbf{p}_0)=\dfrac{(\textbf{x}-\textbf{p}_0)\cdot \textbf{n}}{\|\textbf{n}\|^2}\textbf{n}$ 이 성립하고, point $P_0$가 plane $P$에 속하는 점이므로 plane equation, $\textbf{n}\cdot\textbf{p}_0+b=0$가 성립.

 

이를 이용하여 다음과 같이 전개 가능함.
$$\begin{aligned}\|\textbf{h}\|&=\left\|\dfrac{(\textbf{x}-\textbf{p}_0)\cdot \textbf{n}}{\|\textbf{n}\|^2}\textbf{n}\right\|\\&=\left\|\dfrac{\textbf{n} \cdot(\textbf{x}-\textbf{p}_0)}{\|\textbf{n}\|^2}\textbf{n}\right\|\\&=\left\|\dfrac{(\textbf{n}\cdot\textbf{x} -\textbf{n}\cdot\textbf{p}_0)}{\|\textbf{n}\|^2}\textbf{n}\right\|\\&=\left\|\dfrac{(\textbf{n}\cdot\textbf{x} - (-b))}{\|\textbf{n}\|^2}\textbf{n}\right\|\\&=\left\|\dfrac{(\textbf{n}\cdot\textbf{x} +b)}{\|\textbf{n}\|^2}\textbf{n}\right\|\\&=\dfrac{|\textbf{n}\cdot\textbf{x} +b|}{\|\textbf{n}\|^2}\|\textbf{n}\|\\&=\dfrac{|\textbf{n}\cdot\textbf{x} +b|}{\|\textbf{n}\|}\end{aligned}$$