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점과 직선의 거리
Position Vector x (아래 그림에서 Point Q에 대한 Position Vector)와
n⋅p+b=0을 만족하는 Position Vector p들로 구성되는 평면(Plane P)과의
Distance(거리 , d)는 다음과 같음.
d=|n⋅x+b|‖n‖
where
- ‖n‖ : n의 L-2 norm (or magnitude, length)임. (엄밀하게 쓰면, ‖n‖2)
증명
Point Q와 Plane P와의 거리는 Plane Equation과 Projection을 이용하여 구할 수 있음.
- 2022.05.19 - [.../Math] - [Math] Plane equation : 평면의 방정식
- 2022.05.19 - [.../Math] - [Math] Orthogonal Projection (정사영)

- 옆의 그림을 기반으로 설명하면 다음과 같음.
- 우선
Plane P에 속하는 임의의 Point P0를 선택한다.
이때 Point P0의 Position Vector는 p0임. - 그림과 같이,
Point Q의 Position Vector가 x라고 하면,
Point P0에서 시작해서 Point Q에서 끝나는 Difference Vector x−p0가 구해짐. - 우리가 구하고자 하는 Distance(거리)는 결국
Difference Vector x−p0를
Plane P의 Normal Vector인 n에 Projection을 시킨 Vector h의 Magnitude 에 해당함.
Projection의 공식에 따라,
- h=Projectionn(x−p0)=(x−p0)⋅n‖n‖2n 이 성립하고,
- Point P0가 Plane P에 속하는 점이므로 Plane Equation, n⋅p0+b=0가 성립.
이를 이용하여 다음과 같이 전개 가능함.
‖h‖=‖(x−p0)⋅n‖n‖2n‖=‖n⋅(x−p0)‖n‖2n‖=‖(n⋅x−n⋅p0)‖n‖2n‖=‖(n⋅x−(−b))‖n‖2n‖=‖(n⋅x+b)‖n‖2n‖=|n⋅x+b|‖n‖2‖n‖=|n⋅x+b|‖n‖
응용
- Decision Boundary를 이루는 Hyper-Plane 과의 특정 feature vector의 거리를 구할 수 있음.
- SVM 등의 전개에서 margin을 극대화하는 Decision Boundary를 구하는데 이용됨.
- 위의 공식은 Multi-Dimensional Vector에서 사용가능함: 설명은 3D Vector Space에서 했지만...
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