[Math] Plane Equation : 평면의 방정식

Plane Equation

Plane Equation은 다음과 같음.

$$\textbf{n}^\top\textbf{r}_\text{plane}+b_\text{bias}=0$$

where

• $\textbf{n}$ : normal vector to a plane.
• $\textbf{r}_{\text{plane}}$ : plane에 속하는 점들의 position vector
• $b_{\text{bias}}$ : bias. (scalar)임.

왼쪽 그림에서

• Point $\textbf{P}$와 $\textbf{P}_0$는 평면 위의 서로 다른 점이며
  Position Vector $\textbf{r}$과 $\textbf{r}_0$로 표현됨.
• $\textbf{n}$은 평면에 대한 Normal Vector (법선벡터)임.
  ( 평면의 속하는 모든 Vector와 Orthogonal)

 

$\textbf{P}$와 $\textbf{P}_0$를 잇는
Vector $\textbf{r}-\textbf{r}_0$는 평면에 속하므로
$\textbf{n}$과 orthogonal 임.
즉, 다음과 같이 $\textbf{n}$과 $\textbf{r}-\textbf{r}_0$는 내적이 0임.

$$\textbf{n}\cdot\left(\textbf{r}-\textbf{r}_0\right)=0$$

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위의 관계는 평면에 속하는 모든 $\textbf{r}$이 만족해야하기 때문에 평면에 대한 vector equation이라고 불림.

즉, 한 점 $\textbf{P}_0$ (position vector $\bf{r}_0$)를 지나면서 $\textbf{n}$을 normal vector로 가지는 평면(plane)은 위의 평면의 vector equation으로 정의됨.

 

$$\textbf{n} \cdot \left( \textbf{r}_\text{plane}-\textbf{r}_0 \right) = 0 \\\\ \textbf{n} \cdot \textbf{r}_\text{plane} = -b_{\text{bias}} \\\\ \textbf{n} \cdot \textbf{r}_\text{plane} = \textbf{n}\cdot \textbf{r}_0$$

 

where,

• $\textbf{r}_\text{plane}$은 평면에 속하는 점들의 Position Vector.
• $\textbf{n}$은 Normal Vector 이며 평면의 방정식의 Coefficient에 해당.
• $\text{bias}$는 평행한 무한한 갯수의 평면들 중에서 특정 평면을 정해주는 상수로 Bias라고 불림.
  • 원점과 $\textbf{r}_0$의 Difference Vector와 Normal Vector $\textbf{n}$의 내적 ($=-b_\text{bias}$)임: $\textbf{r}_0 \cdot \textbf{n} = -b_\text{bias}$
    즉, 원점이 $\textbf{n}$의 방향으로 얼마나 이동했는지를 의미함:
    • $\textbf{n}\cdot\textbf{r}_0$가 양수인 경우 법선벡터 방향으로 이동 ($b_\text{bias}$는 반대),
    • $\textbf{n}\cdot\textbf{r}_0$가 음수면 반대방향.
    • $\textbf{n}\cdot\textbf{r}_0=0$이면 원점을 지남.
  • bias의 절대값은 결국 원점과 평면의 거리 $d$를 구하는데 사용가능함: $d=\frac{|b|}{\|\textbf{n}\|}$
  • 즉, normal vector $\textbf{n}$에 orthogonal하고 원점을 포함하는 plane에 속하는
    모든 점들 각각에 대해 $\textbf{r}_0$ 만큼 이동시킨 결과가 바로 평면의 방정식이 나타내는 평면임.

참고로, $\bf{n}$은
plane equation에 대한 일종의 derivative라고 볼 수 있음.
$r_\text{plane}$의 position vector를 각 component로 partial derivative을 취한 것들을
column vector로 만들면 바로 $\bf{n}$임.

 

이를 3차원의 공간에 적용한 경우는 다음과 같음:

$\textbf{n}=\langle a,b,c \rangle$이고, $\textbf{r}_0=\langle x_0,y_0,z_0 \rangle$라면
위의 평면의 Vector Equation은 다음과 같음.

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\\ax+by+cz=ax_0+by_0+cz_0\\ax+by
+cz=-\text{bias}\\ax+by+cz+\text{bias}=0$$

 

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