[Math] 필요조건, 충분조건, 필요충분조건

필요조건, 충분조건, 필요충분조건

명제 (proposition)을 다룰 때 자주 나오는 애기임.

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명제 (proposition)이란?

참(True)이나 거짓(False)를 판별할 수 있는 식(expression)이나 문장(statment).

conditional proposition(조건명제)가
필요조건, 충분조건, 및 필요충분조건 을 설명할 때 주로 사용되며
논리학 또는 기초 수학에서 흔히 보임:
premise(전제)와 conclusion(결론)의 두 집합간의 포함관계를 나타냄.

conditional proposition은 Implication(함의) 라고도 불리며,
premise가 참이면 conclusiont도 참이라는 논리적 관계로 if-then으로 자주 표기됨.

• $p$, premise(전제) 와 $q$, conclusion(결론) 으로 구성됨.
• $p$ 이면, $q$ 이다. (전형적인 조건명제)

주로 $p$와 $q$의 관계는 function이 그러했던 것처럼 집합(set)을 이용하여 자주 설명됨.
" $p$ 이면, $q$ 이다.

• 여기서 $p$와 $q$를 어떤 집합이라고 생각하자.
• 이 경우, 해당 명제가 참이 되기 위해선 $p$는 $q$에 포함되는 subset이 되어야 한다.
• 즉, $p \subset q$이 성립한다.
  • 소크라테스($p$)는 인간($q$)이다 를 살펴보자.
  • 소크라테스 는 인간에 포함된다.
• 단, $p$가 매우 클 경우, $q$와 같아질 수는 있으나, $q$를 넘어서는 크기의 집합이 될 수 없다: 크기는 포함의 관점에서의 크기임.

converse (역): q 이면 p이다.

contrapositive (대우): q가 아니면 p가 아니다.

inverse (부정): p 가 아니면 q가 아님.

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필요조건 (necessary condition)

$q$ if $p$이다: $p \implies q$
premise $p$에 대해 conclusion $q$는 necessary condition임.

• $p$ 이면 $q$이다 라는 propostion에서, $q$는 $p$의 necessary condition이 된다.
• 집합으로 표현하면 $p \subset q$이다.
  • 어떤 존재가 소크라테스가 이려면 (=$p$가 true이려면), 우선 해당 존재는 인간($q$가 true)이어야 한다
  • $p$가 True가 되기 위해선 $q$가 일단 True여야 한다. 하지만, $q$가 True인 경우가 100% $p$가 True임을 보장하지는 않는다.
  • "노력은 성공의 필요조건이다." 라는 말에는 $\text{성공} \rightarrow \text{노력}, \text{성공} \subset \text{노력}$을 의미한다.
  • 즉, 성공한 사람은 모두 노력을 한 건 True (성공은 노력의 부분집합)이지만, 노력한 사람이 모두 성공한 건 아니라는 애기(성공 중 일부는 노력에 속하지 않음)가 된다.

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충분조건 (sufficient condition)

$p$ only if $q$ 라고 표현된 경우, ($p \implies q$)
conclusion $q$에 대해 premise $p$는 sufficient condition임.

• $p$ 이면 $q$이다 라는 propostion에서, $p$는 $q$의 sufficient condition이 된다.
• 집합으로 표현하면 $p \subset q$이다.
  • 어떤 존재가 소크라테스 라면 (=$p$가 true), 해당 존재는 100% 인간($q$가 true)임
  • $p$가 True인 경우, $q$는 무조건 True임. 여야 한다. 하지만, $p$가 False인 경우에도 $q$가 True일 수 있음.
  • 즉, sufficient condition이 true인 경우 무조건 true가 보장되고, false이더라도 true가 될 수 있음.
  • "대학생은 학생의 충분조건이다." 라는 말에는 $\text{대학생} \rightarrow \text{학생}, \text{대학생} \subset \text{학생}$을 의미한다.

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필요충분조건 necessary and sufficient condition

$p$ if and only if $q$ 라고 표현된 경우, premise $p$에 대해 conclusion $q$는 equivalent(동치)이다.

• "if and only if"는 줄여서 iif라고도 한다.
• $p \iff q$

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Example

"optimal solution이면 Karush-Kuhn-Tucker condition을 만족한다."

$$\text{optimal solution} \implies \text{KKT condition}$$

여기서 optimal solution인 경우가 KKT conditon을 만족하는 경우에 포함된다.

• optimal solution에 대해 Karush-Kuhn-Tucker condtion을 만족하는 건 필요조건임.
• Karush-Kuhn-Tucker condition을 만족한다는 것에 대해 optimal solution은 충분조건임.

이는 Karush-Kuhn-Tucker conditino을 만족하는 경우, optimal solution일 수도 있고, 아닐 수도 있음을 의미.

하지만, optimal solution이면 반드시 Karush-Kuhn-Tucker condition을 만족한다.

유능한 공학자는 문제해결능력이 뛰어난 사람이다.
유능한 공학자라면 사람이다.

 

"유능한 공학자"는 "문제해결능력이 뛰어난 사람"에 대한 충분조건임.

"문제해결능력이 뛰어난 사람"은 "유능한 공학자"에 대한 필요조건임.

• 유능한 공학자는 100% 문제해결능력이 뛰어나다.
• 문제해결능력이 좋다고 해서 다 유능한 공학자라고 할 수 없다.

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주기가 $2\pi$인 함수 $f(x)$는 다음의 식 $f(x)=f(x+2\pi)$를 만족한다.

이 경우, "주기가 $2\pi$인 함수 $f(x)$"는 "다음의 식 $f(x)=f(x+2\pi)$를 만족"에 대한 충분조건임.

"다음의 식 $f(x)=f(x+2\pi)$를 만족"하는 경우는 주기가 $4\pi$인 함수 $f(x)$도 만족하므로 더 큰 집합이다.

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