[Math] Definition, Proposition, Axiom, and Theorem

Definition (정의)

• 용어 등의 뜻을 명확하게 정한 것.
• 용어 등에 대한 약속이므로 증명할 필요가 없음.
• 단, well-defined가 되어야 함.

---

Proposition (명제)

• 참, 거짓을 분명하게 판단할 수 있는 "문장(statement)"이나 "식(expression)". (명확하고 객관적이어야 함.)
• Proposition은 참(True)과 거짓(False)으로 구분할 수 있는 statement의 추상적인 form이라고도 볼 수 있음.
  • 때문에 statement라고도 쓰이는 경우가 있음.
  • statement는 proposition보다 넓은 general term 임.
  • 일상적 범용적 문맥에서도 statement는 사용되며 단, 이 경우에는 참, 거짓을 명확히 구분할 수 없을 수도 있음: statement
  • statement는 "진술"이라고도 불림.
• Propositional Logic, Propositonal Calculus 는 같은 의미.
• 서술문으로서 그 내용에 대하여 진리값 True(참)이나 False(거짓) 중 어느 하나만을 부여할 수 있는 문장
• 진리값인 참과 거짓은 각각 T (True) 와 F (False), 혹은 1 과 0 으로 표시됨

---

Axiom (공리)

• 하나의 이론에서 증명 없이 참이라고 정한(?) Proposition.
• 즉 조건 없이 전제된 Proposition으로 해당 이론의 기초로서 가정된 Proposition임.

---

Theorem (정리)

• 증명된 Proposition으로 다른 Proposition들의 증명에 기본이 됨.
• 이미, Definition, Axiom 및 다른 theorem들에 의해 잘 증명이 된 propostion임.

---

Proof (증명)

• 정의와 이미 참으로 밝혀진 성질들을 근거로 어떤 명제가 참임을 보이는 것.

---

Condition

Variable에 의해 True 또는 False 가 되는 Proposition (or Expression)

넓게 정의하는 경우, 항상 True, False인 propistion들도 포함됨: Tautologies and Contradictions.

logical operations에서의 입출력이 결국 condition임.

Logical Operations
1. Logical Negation (=not, $\neg$)
2. Logical Conjunction (=and, $\land$)
3. Logical Disjunction (=or, $\lor$)
4. Logical Exclusive Disjunction (=xor, $\oplus$)
5. Logical implication ($\rightarrow$, premise$\rightarrow$conclusion 는 if premise, then conclusion임.)

Boolean Algebra의 operations라고 생각해도 큰 차이 없음.

 

https://dsaint31.github.io/math/math-tautologies/

[Math] Logic: Tautologies and Contradictions

---

Truth Set

특정 condition에 대해 이를 True로 만들어주는 variable을 element로 가지는 set

set을 condition으로 정의할 경우 | (vertical bar, pipe) 뒤에 condition이 주어짐)

ex: $s = \{ x | x\text{에 대한 condition}\}$

 

---

읽어보면 좋은 자료들

2023.06.12 - [Programming] - [Python] Expression vs. Statement

[Python] Expression vs. Statement

https://dsaint31.me/mkdocs_site/CE/ch01/ch01_13_boolean_algebra/

BME228

https://dsaint31.github.io/math/math-week01/#logic

[Math] Week 01

---