[Math] Radian (Circular measure, 호도법)

60분법 (degree)

원을 이루는 각을 360으로 나눈 것을 1도(degree)라 함.

Radian (호도법, Circular measure)

원(흔히 단위원)에서 원주와 반지름의 길이가 같아질 때의 θ를 1 radian이라고 함.
$$\theta = \frac{l_{arc}}{l_{radian}}$$

호도법 : 호의 길이를 이용하여 각도를 측정한다는 한자용어.

Degrees vs. Radian (정의 혹은 측정의 측면)

• Observer(관찰자)가 얼마나 고개를 들어 올리는가? : degree
• Mover(이동자)가 얼마나 이동을 해야 하는 각도인가? : radian

Radian의 장점

• trigonometric function의 미적분시 _곱해지는 상수항이 없어서 *_편리**.
• 원에서 반지름과 둘레가 일정한 비율을 가지다는 특성을 활용.

Trigonometric function에서 Radian의 장점 (예: sin 함수 미분)

$\sin$ 함수의 미분은 다음과 같음.
$$\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \sin x &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {\sin (x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x}\\
\quad &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {\sin x \cos \Delta x +\cos x \sin \Delta x - \sin x}{\Delta x} \\
\quad &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {\sin x +\cos x \sin \Delta x - \sin x}{\Delta x} \\
\quad &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {\cos x \sin \Delta x}{\Delta x} \\
\quad &= \cos x \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac { \sin \Delta x}{\Delta x} \\
\end{aligned}$$

여기서 $\underset{\Delta x \to 0}{\lim} \frac{\sin \Delta x}{\Delta x}$ 의 값 유도 (조임정리) 를 해보면 $x$가 degree인 경우, 상수항을 곱해줘야 하고, radian인 경우엔 1로 되어 상수항을 무시할 수 있음을 보일 수 있음.

Squeeze Theorem (샌드위치 정리, 압착정리, 조임정리)

ref. 공돌이의 수학정리노트

위의 그림 에서 넓이를 살펴보면, 푸른색 삼각형이 가장 작고, 녹색의 부채꼴이 그다음으로 작고, 노란색의 삼각형이 가장 넓다.

60분법 (degree) 이용시

$$\matrix{
\frac{1}{2} \times 1 \times \sin \theta^\circ &\le& \pi \times 1^2 \times \frac{\theta^\circ}{360^\circ} &\le& \frac{1}{2} \times 1 \times \tan \theta^\circ \\
\frac{\sin \theta^\circ}{2} &\le& \pi \times \frac{\theta^\circ}{360^\circ} &\le& \frac{\tan \theta^\circ}{2} \\
\frac{360^\circ}{\pi} \frac{\sin \theta^\circ}{2} &\le& \theta^\circ &\le& \frac{360^\circ}{\pi} \frac{\tan \theta^\circ}{2} \\
\frac{180^\circ}{\pi} \sin \theta^\circ &\le& \theta^\circ &\le& \frac{180^\circ}{\pi} \tan \theta^\circ \\
\frac{180^\circ}{\pi} &\le& \frac{\theta^\circ}{\sin \theta^\circ} &\le& \frac{180^\circ}{\pi} \frac{1}{\cos \theta^\circ} \\
\frac{\pi}{180^\circ} &\ge& \frac{\sin \theta^\circ}{\theta^\circ} &\ge& \frac{\pi \cos \theta^\circ}{180^\circ} \\
}
\\
\therefore \lim_{\theta^\circ\rightarrow0^\circ}\frac{\sin \theta^\circ}
{\theta^\circ}=\lim_{\theta^\circ\rightarrow0^\circ}\frac{\pi \cos \theta^\circ}{180^\circ}=\frac{\pi}{180^\circ}$$

60분법을 사용할 경우, sinx의 미분에 위 결과를 대입하면 다음과 같음.
$$\frac{d}{dx} \sin x = \frac{\pi}{180^\circ} \cos x$$
즉, 상수를 곱해주는 처리가 필요함.

Radian 이용시

$$\matrix{
\frac{1}{2} \times 1 \times \sin \theta &\le& \pi \times 1^2 \times \frac{\theta}{2\pi} &\le& \frac{1}{2} \times 1 \times \tan \theta \\
\frac{\sin \theta}{2} &\le& \pi \times \frac{\theta}{2\pi} &\le& \frac{\tan \theta}{2} \\
\frac{\sin \theta}{2} &\le& \frac{\theta}{2} &\le& \frac{\tan \theta}{2} \\
\sin \theta &\le& \theta &\le& \tan \theta \\
1 &\le& \frac{\theta}{\sin \theta} &\le& \frac{1}{\cos \theta} \\
1 &\ge& \frac{\sin \theta}{\theta} &\ge& \cos \theta
}
\\
\therefore
\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{\sin \theta}{\theta}=\lim_{\theta\rightarrow0} \cos \theta =1$$
radian을 사용할 경우, $\sin x$의 미분에 위 결과를 대입하면 다음과 같음.
$$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$$
즉, 60분법에서의 상수 $\frac{\pi}{180^\circ}$를 곱해주는 처리가 필요없음.

References

• 공돌이의 수학정리노트