[LA] Intermediate Matrices for Inverting Full-Rank Matrix: Cramer's Rule

Square Full-Rank Matrix의 Inverse를 Cramer's rule에 기반하여 구하는 방식은
실제 inverse를 구하는 용도로는 많이 사용되지는 않는다.

• 재귀적 방식인지라, 대상이 되는 Square Matrix의 크기가 커질 경우 매우 비효율적이기 때문임.
• 단, $3\times 3$ 이하의 작은 크기이거나, Complex Number 로 인해 Row Reduction 등이 효과적이지 못한 경우에는 inverse를 구하는데 사용되기도 함.

주요 용도는 Theoretical Tool로서 inverse를 다 구하지 않고도, $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$에서 $\mathbf{b}$의 작은 변화가

$\mathbf{x}$에 얼마나 영향을 주는지 등을 살피는 것임. 

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주요행렬

이 방식에서 중간에 이용되는 주요 Matrix는 다음과 같음.

• Minor Matrix (소행렬)
• Checkerboard Matrix (or Sign Matrix, 부호행렬)
• Cofactor Matrix (여인자 행렬)
• Adjugate Matrix (수반 행렬)

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Minor Matrix (소행렬)

"Sub-Matrices의 Determinants"(=minor, 소행렬식) 를 elements 로 가짐.

• $i$-th row, $j$-th column의 element $m_{ij}$ (=소행렬식, minor) 는
• $i$-th row와 $j$-th column을 제외한 submatrix $A_{ij}$의 determinant (행렬식)임.

$$M = \begin{bmatrix} m_{11} & \cdots & m_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n1} & \cdots & m_{nn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \det A_{11} & \cdots & \det A_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \det A_{n1} & \cdots & \det A_{nn}\end{bmatrix}$$

https://youtu.be/3aGbLzSnEcI?si=8KhldWmTCaaIxUKx

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Checkboard Matrix (or Sign Matrix, 부호행렬)

항상 left-top element가 1이고 이웃한 행과 열에서 -1과 1이 반복되면서 나오는 체크무늬의 Matrix.

$i$-th row, $j$-th column의 element $g_{ij}$는 다음과 같음.

$$g_{ij} = (-1)^{(i+j)}$$

• $i,j$는 1부터임.

다음 영상에서는 Grid matrix라고 했으나 sign matrix가 맞는 용어임.

https://youtu.be/Y5Pqf-TQm0w?si=vNBo9auYIxAkm-Yz

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Cofator Matrix (여인자 행렬)

Cofactor (여인자)들을 elements로 가지는 Matrix.

Minor Matrix (소행렬)와 Sign Matrix (부호행렬)의 Hadamard Multiplication의 결과물임.

$$C_{ij} = (-1)^{(i+j)} \det A_{ij}$$

https://youtu.be/O5XXzM_NYJ4?si=dbh7P-5w1Aa9EwSV

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Source Matrix $A$의 determinant는 다음이 성립

$$\det A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots + a_{1n}C_{1n}$$

where

$a_{ij}$: Matrix $A$의 $i$-th row, $j$-th column의 Element.

위의 식이 Cofactor Expansion (여인수 전개) across the first row of $A$

https://youtu.be/O5XXzM_NYJ4?si=dbh7P-5w1Aa9EwSV

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Adjugate Matrix (수반행렬)

Classical Adjoint 라고도 불리기도 함.

Transpose of the Cofactor Matrix 임.

$$\text{Adj } A = C^\top$$

https://youtu.be/upYDBlkqgyc?si=t7glAVClNkW9KR58

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Inverse Matrix (역행렬)

위의 intemediate matrix를 통해 다음과 같은 일반식을 얻을 수 있음.

$$\begin{aligned}A^{-1} &= \dfrac{1}{\det A} \text{Adj } A \\ &=\dfrac{1}{\det A}\begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}\end{aligned}$$

https://youtu.be/nM6Dk-RSZnA?si=Kx3cwNgjeOg1JKsv

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참고: Cramer's Rule

위의 Square Full-Rank Matrix에 대한 Inverse 를 구하는 일반식은 Cramer's Rule을 이용하여 유도된다.

• $A^{-1}$의 $j$-th column $\mathbf{x}$가 $A\mathbf{x}=e_j$를 만족하므로,
• 여기에 Cramer's Rule을 통해 $\mathbf{x}$를 구하는 것을 통해 이루어짐.
• $i$-th entry of $\mathbf{x}$는 $A^{-1}$의 $(i,j)$-entry에 해당.

다음은 Cramer's Rule 임.

$A$ 가 invertible $n \times n$ matrix 이고, 다음의 Matrix Equation이 있다고 하자.

$$A\mathbf{x} =\mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$$

이때 the unique solution $\mathbf{x}$의 element는 다음과 같음.

$$x_i = \dfrac{\det A_i(\mathbf{b})}{\det A}, \quad i=1,2,\cdots, n$$

where

• $A_i(\mathbf{b})$ 는 $A$에서 $i$-th column을 Vector $\mathbf{b}$로 교체한 Matrix임.

다음의 예를 참고

https://www.onlinemathlearning.com/cramers-rule.html

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같이보면 좋은 자료들

2024.02.17 - [.../Linear Algebra] - [LA] Row Operations and Row Equivalent

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2024.04.03 - [.../Linear Algebra] - [LA] Determinant (행렬식)

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2022.12.02 - [.../Math] - [LA] Pseudoinverse Matrix (수정중)***

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2024.07.20 - [.../Math] - [Math] Identity (항등원) and Inverse (역원)

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2025.01.21 - [.../Linear Algebra] - [Summary] Linear Algebra (작성중)

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