1. Covolution의  FT: Multiplication$$x(t) \leftrightarrow X(\Omega), \quad h(t) \leftrightarrow H(\Omega) \\ h(t) * x(t) \leftrightarrow H(\Omega) X(\Omega)$$1-1. 증명:$$\begin{aligned}&\int_{-\infty}^\infty [x(t) * h(t)] e^{-j\Omega t} dt\\&= \int_{-\infty}^\infty \left[ \int_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) d\tau \right] e^{-j\Omega t} dt\\&= \int_{-\infty}^\infty x(\tau) \left[ \int_{-\infty}^..

0. Continuous Signal: Time Scaling$$x(t) \leftrightarrow X(\Omega) \\ y(t)=x(at) \\ Y(\Omega) = \frac{1}{|a|}X\left( \frac{\Omega}{a} \right)$$Compression: $|a|>1$ / Expansion $|a|Time domain 에서의 compression은 Freq. domain 에서의 Expansion, Vice Versa주의할 점은 Continuous에서는 signal의 밀도가 바뀌기 때문에 $\frac{1}{|a|}$로의 magnification이 발생함.0-0. 증명Case: $a>0$$$\begin{aligned}\int^\infty_{t=-\infty}e^{-j\Omega t} ..

신호처리 관점에서의 시스템 표현: 차분 방정식과 MA, AR, ARMA, ARIMA, SARIMA 모델신호처리에서 이산 신호 시스템은 FIR(Finite Impulse Response) 시스템과 IIR(Infinite Impulse Response) 시스템으로 분류할 수 있음.이들은 difference equation(차분 방정식)을 통해 수학적으로 표현가능함.그러나 차분 방정식만으로는 신호의 주파수 응답, 자기 상관성, 노이즈 제거 등의 다양한 특성을 효과적으로 반영한 모델링이 어려움. 이를 보완하기 위해 다음의 확장된 형태의 표현(representation, model)이 도입됨.MA(Moving Average),AR(Auto-Regressive),ARMA(Auto-Regressive Moving A..

Discrete Signal과 Time-series DataDiscrete signal은 이산 시간(discrete time)에서 측정된 값을 가지는 Signal이는 일반적으로 time series data의 한 형태로 볼 수 있음.시간의 discrete point에서 정의된 signal은 시간적 패턴과 통계적 특성을 분석하기 위해 동일한 방법론이 적용될 수 있음:Difference EquationDigital ConvolultionMAARARMAARIMASARIMA2023.09.01 - [Computer] - [ML] Time Series 란? [ML] Time Series 란?시계열 데이터라고 불리는 time series data는 쉽게 생각해서 일정한 시간 간격으로 배치된 seqence (수열) 을..

신호의 최대 주파수보다 최소 2배 이상의 샘플링 주파수로 샘플링하면 원래 신호를 완벽하게 복원할 수 있다는 Theorem $$f_\text{sampling} \ge 2f_\text{max}$$where$f_\text{sampling}$ : sampling frequency. sampling rate. Nyquist rate.$f_\text{max}$ : 신호의 최대 주파수.Harry Nyquist 통신 이론에서 특정 대역폭(bandwidth)을 가진 아날로그 신호를 디지털화 (digitization)하기 위해서는최소한 해당 신호의 대역폭의 두 배 이상의 샘플링 주파수가 필요하다는 사실을 발견이때문에 최대 대역폭의 2배인 샘플링 주파수를 Nyquist Sampling Rate (or Sampling Rat..

시스템 모드(system mode)는시스템의 고유 모드(eigenmode),즉 시스템의 고유벡터(eigenvector),시스템의 고유함수(eigenfunction)들과 동일한 개념임. System Mode는 시스템 고유의 response를 결정하는 핵심 요소임. 시스템을 나타내는 differential equation이나 state space(상태 공간) 표현에서대응하는 고유값(eigenvalue)과 함께 구해짐.System Mode와 Eigen Vector의 관계Eigenvalue:시스템의 Characteristic Equation (특성 방정식)을 풀어서 얻는 값.시스템의 안정성, 응답 속도, 진동 특성 등을 결정.Eigenvector:각 eigenvalue에 대응하는 vector로, 시스템 상태의 ..