.../Signals and Systems

[SS] Fourier Transform of Impulse Function (Dirac Delta)

Continuous Time Signal에서의 Impulse Function은 Dirac Delta Function $\delta(t)$임. 이는 다음을 만족함. $$\delta(t)=\left\{ \begin{matrix} \infty &,t=0 \\ 0 &,t \ne 0 \end{matrix}\right. \\ \int^\infty_{-\infty} \delta(t)dt=1$$ 2022.08.29 - [.../Signals and Systems] - [SS] Impulse Function (Dirac Delta Function) [SS] Impulse Function (Dirac Delta Function) 다음과 같이 정의 되는 함수를 $\delta_\epsilon(t)$라고 하자. $$\delta..

[SS] A Short Table : Fourier Transform

https://dsaint31.tistory.com/363?category=1015725 $x(t)$ $X(\omega)$ 1 $e^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{1}{a+j\omega}$ ref. 2 $e^{a t} u(-t) , a>0$ $\frac{1}{a-j\omega}$ 3 $e^{-a \vert t\vert}, a>0$ $\frac{2a}{a^2+\omega^2}$ 4 $te^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{1}{ (a+j\omega)^2}$ 5 $t^ne^{-a t}u(t), a>0$ $\frac{n!}{ (a+j\omega)^{n+1}}$ 6 $\delta(t)$ $1$ ref. 7 $1$ $2\pi \delta(\omega)$ ref. 8 $e^{j\omega_0t..

[SS] 1장 관련 Quiz

1. 다음 함수의 주기는? $$x\left( t \right) =\cos { (t) } +3{ e }^{ -j2t }$$ 2. 다음 함수의 주기는? $$ x\left( t \right) ={ e }^{ j\frac { \pi t }{ 2 } }\cos { \left( \frac { \pi }{ 3 } t \right) } $$ 3. $x(t)$가 주기함수일 때, 다음의 함수의 주기는 (비주기 함수일 수도 있음)? $$ y\left( t \right) ={ e }^{ x\left( t \right) } $$ 4. 다음의 참/거짓을 고르시오. 어떤 신호는 energy signal이면서 power signal일 수도 있다. [T/F] deterministic signal은 시간에 따른 값의 변화를 정확히 예측..

[SS] Separable signal

1-D signal (or 독립변수가 1개인 function)을 주로 다룰 때는 별로 나오지 않는 개념이나, 2-D signal인 영상들을 다룰 때에는 곧잘 나오는 개념. 2-D signal $f(x,y)$에 대해, 아래와 같은 등식을 성립시키는 1-D signal $f(x)$과 $f(y)$가 존재할 경우, $f(x,y)$를 separable 하다고 말할 수 있음. $$ f(x,y) = f(x)f(y)$$ 결국 $f(x,y)$가 자신의 2개의 independent variable(독립변수) $x$와 $y$에 대해 각각에 대해서만 영향을 받는 1-D function들의 곱으로 나타낼 수 있을 때 separable 하다고 애기할 수 있음. 신호처리나 영상처리 등에서 기본 함수로 나오는 impulse func..

[SS] 1장 관련 Quiz (풀이포함)

1. 다음 함수의 주기는? $$x\left( t \right) =\cos { (t) } +3{ e }^{ -j2t }$$ Sol. $$ \cos { (t) } \rightarrow { T }_{ 1 }=2\pi \\ 3{ e }^{ -j2t }\rightarrow \frac { 2\pi }{ { T }_{ 2 } } =2\rightarrow { T }_{ 2 }=\pi \\ \frac { { T }_{ 2 } }{ { T }_{ 1 } } =\frac { \pi }{ 2\pi } =\frac { 1 }{ 2 } \\ T=\frac { { T }_{ 1 }{ T }_{ 2 } }{ GCD\left( { T }_{ 1 },{ T }_{ 2 } \right)} =2\pi $$ 주기 $T$와 주파수 $f$, 그..

[SS] Orhtogonal Function : sin

$\sin$ signal 은 interval $[-\pi,\pi]$에서 orthogoanl function(직교 함수)임. 다음을 참고. $$\begin{aligned} \int^{\pi}_{-\pi} f_m (t) f^{*}_{l} (t) dt &= \int^{\pi}_{-\pi} \sin (mt) \sin (lt) dt \\ &= \int^{\pi}_{-\pi} \left[ \frac{1}{2} \left\{ \cos(m-l) t - \cos (m+l)t \right\} \right] \\ &= \frac{1}{2} \int^\pi_{-\pi} \cos (m-l)t dt - \frac{1}{2} \int^\pi_{-\pi} \cos(m+l)t dt \\ &= A \end{aligned}$$ $m \n..