.../Signals and Systems
[SS] Properties of Impulse Function
Impulse function (or Dirac delta function)은 이상적으로, 오직 한 점에서만 무한대의 값을 가지고,나머지에서는 0의 값을 가지며,적분시 면적인 1이 되는 함수다른 function을 분석하거나, system의 response를 측정할 때, Basis Function으로 사용됨.어떤 continuous function도 impulse function의 weighted sum으로 표현됨.Derivative (도함수) of Unit Step FunctionImpulse function은 unit step function의 derivative(도함수)라고 볼 수 있음. 유도.impulse function을 적분하면 다음이 성립함.$$\int^t_{\tau=-\infty} \delt..
[SS] Signum function : 부호함수
수식 signum function은 sign 즉 부호를 출력해주는 함수로 $\text{sgn}$으로 표기됨. $$\text{sgn} (t)=\left\{ \begin{matrix} \displaystyle \frac{t}{|t|}, & t\ne 0\\ 0, & t=0\end{matrix} \right.$$ $t=0$ 인 경우 부호가 없다는 뜻에서 0으로 지정된다. 다음으로도 많이 표시됨. $$\text{sgn} (t)=\left\{ \begin{matrix} 1, & t> 0\\ 0, & t=0 \\ -1,& t 위 식에서 보이듯이 signum 은 step function의 특별한 경우라고 생각할 수 있다. Waveform Note sgn은 special function에 속하며 odd function이..
[SS] Pulse Signal : Rect function
정의 $$\text{rect }(t)=\left\{ \begin{matrix} 1, & \text{for }|t|\dfrac{\tau}{2}\end{matrix}\right.$$ unit step의 경우와 마찬가지로 $|t|=\frac{\tau}{2}$인 경우 보통 $\frac{1}{2}$을 가지도록 정의되는 경우가 많음. $\tau=1$ 인 경우로 한정하여 $\text{rect}$라고 부르는 경우가 많음. $\text{rect}$는 대표적인 energy signal임. Frequency domain에서는 $\text{sinc}$ function이 된다. Waveform 위 그림은 width가 $\tau=2a$ 인 Pulse Signal ($\text{rect}$ function이라고도 불림)을 보여준다..
[SS] Unit Step Function (Heaviside Step Function)
수식$$u(t)=\left\{\begin{matrix}1,& t>0 \\0, &t $t=0$인 경우의 값은 일반적으로 $\frac{1}{2}$를 취함항상은 아니며, $t=0$일 때, $1$을 가지는 경우도 많음. 계단 모양이라는데에서 step이라는 이름이 붙음. Unit Step Function은 다른 이름으로 Heaviside step function 이라고도 불림 위대한 공학자이자 수학자인 Heaviside를 기념하기 위해 그의 이름을 붙여서 사용되는 경우가 많음.Elementary Function이 아닌 가장 간단한 형태의 Special Function이라고도 볼 수 있음.https://dsaint31.tistory.com/682 [Math] Function의 분류: 작성중Function은 크게 "..
[SS] Shift, Reflecting, Scaling Operation
Shifting Signal을 지연(delay) 또는 선행(advanced)시키는 연산을 의미함 (보통 delay를 기준으로 처리) $$x(t) \rightarrow x(t-t_0)$$ 위 식은 $t_0$로 shift 시킨 것을 의미함. (delayed) 다음 그림은 $x(t)=t^2$ signal과 이를 1, 2로 shift 시킨 signal을 waveform으로 나타낸 것임. Reflecting 반사라고도 애기를 하며, time signal의 경우 대부분 horizontal reflection을 의미함. $$x(t) \rightarrow x(-t)$$ 위 식은 $x(t)$로 reflection 시킨 것을 의미함. 다음 그림은 $x(t)=0.3t+1$ signal과 이를 reflection shift ..
[SS] Continuous Signals vs. Discrete Signals
1. Continuous SignalSignal을 수학적으로 다룰 때는 function으로 표현하기 때문에,Continuous Signal이란 Continous Variable들에 대해 정의된 function으로 표기되는 signal이다.Continuous variable이란, 무한한 수의 다른 값을 가질 수 있는 variable로 정의됨. 2023.06.22 - [.../Math] - [Math] Continuity (of Multivariate Function) and Contiguity0, \ \ \exists \delta>0 \mbox{ such that if } \mathbf x \in S \mbox{" data-og-host="dsaint31.tistory.com" data-og-source-..
[SS] Energy Signal vs. Power Signal
Energy Signal Energy 가 유한한 Signal Power는 0임. continuous signal $x(t)$가 Energy signal인 경우, 다음이 성립 $$ E= \underset{T\to \infty}{\lim}\displaystyle \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} |x(t)|^2 dt < \infty $$ discrete signal $x[n]$이 Energy signal인 경우, 다음이 성립 $$ E= \underset{N\to \infty}{\lim}\displaystyle \sum^{N}_{n=-N} |x[n]|^2 < \infty $$ finite duration signal이나 exponetial decay signal들이 대표적인 ener..
[SS] Deterministic signal vs. Random signal
Deterministic signal 미리 독립변수에 대한 값이 결정되어 있는 신호 (함수로 표현 가능). Standard filter or Gaussian func. 같이 수식 혹은 표 등으로 명확하게 표현됨 입출력 관계가 결정적(=명확히 정해짐)이기 때문에 입력이 결정되면 출력도 정확히 결정됨. 예 : sinusoidal signal, step signal, and so on. Random signal 신호의 특성을 함수(function)으로 표시할 수 없음. Random signal은 통계적 특성(or random process)을 이용하여 해석. pdf(probability density func.)나 mean, std 등의 통계량을 이용하여 확률적으로 처리. 예 : White Gaussian N..
[SS] Periodic Signal (주기신호)
정의 Signal이 일정한 간격($T$, period, 주기)을 가지고 값과 형태가 동일하게 반복되는 경우, 해당 signal을 주기성(periodicity)을 가진다고 하고 periodic signal이라고 칭함. aperiodic signal은 주기성을 가지지 않는 signal들을 칭함. 수식 수식으로 나타내면 다음과 같음. continuous signal $x(t)$가 periodic인 경우 $$x(t+kT)=x(t),\quad k\text{ is integer}$$ discrete signal $x[n]$가 periodic인 경우 $$x[n+kN]=x[n],\quad k, N \text{ are integers}$$ 위의 수식에서 $T$ 또는 $N$은 period이며 반복되는 주기 중 가장 작은 ..