1. Continuous Signal
Signal을 수학적으로 다룰 때는 function으로 표현하기 때문에,
Continuous Signal이란 Continous Variable들에 대해 정의된 function으로 표기되는 signal이다.
Continuous variable이란, 무한한 수의 다른 값을 가질 수 있는 variable로 정의됨.
2023.06.22 - [.../Math] - [Math] Continuity (of Multivariate Function) and Contiguity
[Math] Continuity (of Multivariate Function) and Contiguity
Continuity (연속) 이란 If $S\subseteq \mathbb{R}^n$, then a function $f:S\to \mathbb{R}$ is continuous at $\textbf{a} \in S$ if $$\begin{equation}\label{cont.def} \forall \varepsilon >0, \ \ \exists \delta>0 \mbox{ such that if } \mathbf x \in S \mbox{
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1.1. 예 : Continuous Time Signal
예를 들어, 신호처리에서 가장 처음 소개되는 Continuous Time Signal을 이 관점에서 살펴보면,
- 정의역 Time이 연속변수이며,
- 정의역에 대응되는 function의 값 (image에 속함)이 정의된 function이라고 생각할 수 있다.
Continuous Time Signal의 function이 가지는 값이 반드시 continuous variable일 필요는 없음.
단, function이 가지는 값도 continuous variable인 경우 analog signal이됨.
즉, 시간에 대해 끊어지지 않는(연속적인), 즉 (특정 구간의) 모든 시간에 대해 정의되는 Signal 이 바로 Continuous Time Signal이다.
1.1.1. 표기
$x(t)$로 time $t$에 정의된 signal $x$를 표현한다. 이때, 소괄호 (parenthesis marking)를 사용함으로서 $t$가 continuous variable임을 표시한다.
1.1.2. 길이 (duration, length)
Signal의 값이 존재하는 time interval 의 길이로 정의되며, $L$ 등으로 표기된다.
예를 들어, $x(t)$가 $[t_0, t_1]$에서 정의되어 있다면, $L=t_1-t_0$임.
2. Discrete Signal
Discrete Signal이란 Discrete Variable들에 대해 정의된 function으로 표기되는 signal이다.
Discrete variable이란, 유한한 수의 다른 값을 가질 수 있는 variable로 정의됨.
2.1. 예 : Discrete Time Signal
Continuous Time Signal에서 본 것처럼 Discrete Time Signal을 살펴보면,
- 정의역 Time이 discrete variable이며 (때문에 time보다 index라고 불림),
- 정의역에 대응되는 function의 값 (image에 속함)이 정의된function이라고 생각할 수 있다.
Discrete Time Signal의 function이 가지는 값이 반드시 discrete variable일 필요는 없음.
단, function이 가지는 값도 discrete variable인 경우 digital signal이됨.
즉, 띄엄띄엄 특정한 시각에서만 정의되는 Signal이며,
값을 발생 순서대로 늘어놓은 단순한 수열(sequence)로 표기가능함.
$$x[n]=\left[ \dots, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2} , 1 , \dots\right]$$
독립변수를 항상 정수로 표기하여 구분하며, index라고 부르는 게 일반적임.
2.1.1. 표기
$x[n]$로 index $n$에 정의된 signal $x$를 표현한다. 이때, 대괄호 (square bracket)를 사용함으로서 $n$이 discrete variable임을 표시한다.
2.1.2. 길이 (duration, length)
Signal의 값이 존재하는 interval 내의 sample의 수로 정의되며, $N$ 등으로 표기된다.
예를 들어, $x[n]$가 $[n_0, n_1]$에서 정의되어 있다면, $N=n_1-n_0$+1임.
주의할 건 앞서 애기한 것처럼 $n$은 정수여야 한다.
3. Others
3.1. Piecewise Continuous Signal (구간연속신호)
유한(finite) 갯수의 불연속점을 가지며, 각 불연속점에서의 도약도 유한(finite)한 signal을 가르킴.
대표적인 예로 다음과 같은 pulse signal (or rect signal)을 들 수 있음.
3.2. Infinite Duration Signal vs. Finite Duration Signal
Finite duration signal 은 말 그대로 유한한 시간 구간 내에서만 값이 존재하는 Signal을 가르킴.
Infinite duration signa 은 시간적으로 무한한 길이를 갖는 Signal임.
3.3 Analog Signals vs. Digital Signals
시간 뿐만 아니라 크기(신호의 값)에 대해서도 continuous(연속)이냐 discrete(이산)이냐 구분
Digital Signal을 얻기 위해선 다음의 처리가 필요함.
3.3.1. Sampling
연속 Signal를 시간 간격을 두고 순간적 시간의 값을 취해 Discrete Time Signal로 만듦
(각 구간의 평균을 취하기도 함)
3.3.2. Quantization (양자화)
크기에 대해서도 Signal를 이산화시켜 Signal의 값을 유한 개의 등급(레벨)으로 분류
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3.3.3. Encoding (부호화)
Target systme이 처리할 수 있는 형태의 code로 만듦
위의 그림에서는 이진수로 encoding하는 예를 보여줌.
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