[SS] Shift, Reflecting, Scaling Operation

Shifting

Signal을 지연(delay) 또는 선행(advanced)시키는 연산을 의미함 (보통 delay를 기준으로 처리)

 

$$x(t) \rightarrow x(t-t_0)$$

• 위 식은 $t_0$로 shift 시킨 것을 의미함. (delayed)

다음 그림은 $x(t)=t^2$ signal과 이를 1, 2로 shift 시킨 signal을 waveform으로 나타낸 것임.

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Reflecting

반사라고도 애기를 하며, time signal의 경우 대부분 horizontal reflection을 의미함.

 

$$x(t) \rightarrow x(-t)$$

• 위 식은 $x(t)$로 reflection 시킨 것을 의미함. 

다음 그림은 $x(t)=0.3t+1$ signal과 이를 reflection shift 시킨 signal을 waveform으로 나타낸 것임.

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(Time) Scaling

expansion, contraction이라고도 불리며 수식으로 나타내면 다음과 같음.

 

$$x(t) \rightarrow x(at)$$

• $a$는 scaling factor임. 1보다 작을 경우 expansion, 1보다 클 경우 contractino임.

다음 그림은 $x(t)=t^2$ signal과 이를 $a=1.1$과 $a=0.9$로 scaling 시킨 signal을 waveform으로 나타낸 것임.

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Not Commutative

주의할 것은 shifting, relrecting, scaling 들은 commutative 하지 않음. <= 교환법칙이 성립하지 않음.

 

다음 예를 보자.

$$x(2t-10)=x(2(t-5))\ne x(2t-5)$$

 

위 식에서 알 수 있듯이

• 2로 scaling 후 5만큼 shifting한 signal(맨 오른쪽 식)과
• 5로 shifting을 먼저 하고 2로 scaling을 한 signal (중간식)은 다르다. 

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참고자료

https://gist.github.com/dsaint31x/6d54106c58d70e5db1e0320897f4abc8

SS_shifting_reflecting_scaling.ipynb