Transfer function은 impulse response의 Laplace transform이고,time-domain에서의 convolution ($*$)은 s-domain에서 multiplication이므로다음이 성립.$$H(s)=H_1(s)H_2(s)\cdots H_n(s)\\ h(t)=h_1(t) * h_2(t)* \cdots * h_n(t)$$cascade connection의 경우,전체 시스템의 transfer function은직렬연결된 서브시스템들의 transfer function들의 곱에 해당함.Example$$\begin{aligned}H(s)&=\frac{s^2-3s+2}{s^3+6s^2+11s+6} \\\\ &=\left(\frac{s-2}{s^2+5s+6}\right)\left(..

Laplace transform 의 인수분해(factorization) 등을 이용하여 다양한 형태의 구현도(Implementation) 가 가능해짐. Differential Equation and Transfer Function $$\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_2\dfrac{d^2x(t)}{dt^2}+b_1\dfrac{dx(t)}{dt}+b_0x(t)$$ $$s^2Y(s)+a_1sY(s)+a_0Y(s)=b_2s^2X(s)+b_1sX(s)+b_0X(s)$$ $$\Rightarrow (s^2+a_1s+a_0)Y(s)=(b_2s^2+b_1s+b_0)X(s)$$ $$\Rightarrow H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_2s..

0. shifted impulse와 convolution은 결국 shifting 연산임$t_0$로 shifting을 시킨 impulse function $\delta(t-t_0)$과의 convolution은결국 같은 $t_0$만큼 signal을 shifting하는 것으로 볼 수 있음.$$f(t)*\delta(t-t_0) = f(t-t_0)$$$*$ : convolution1. 증명$$ \begin{aligned} f(t)* g(t) &= \int^\infty_{-\infty} f(t-\color{red}{\tau}) g(\tau) d \tau \\ f(t)* \delta(t-t_0) &= \int^\infty_{-\infty} f(t-\tau) \delta(\tau - t_0) d \tau \\ &= \..

CTFT 에서 Modulation Property란 $x(t)$의 CTFT가 $X(\Omega)$인 경우, $x(t) \cos (\Omega_0 t)$의 CTFT가 다음과 같음을 의미함. $$\mathcal{F}\left[ x(t) \cos (\Omega_0 t)\right] = \frac{1}{2} \left[ X(\Omega-\Omega_0) + X(\Omega+\Omega_0)\right]$$ 추가적으로, $x(t) \sin (\Omega_0 t)$의 CTFT도 다음과 같이 구해짐. $$\mathcal{F}\left[ x(t) \sin (\Omega_0 t) \right] = \frac{1}{2j} \left[ X(\Omega - \Omega_0) - X(\Omega + \Omega_0)\right..

Continuous Time Signal에서의 Impulse Function은 Dirac Delta Function $\delta(t)$임. 이는 다음을 만족함. $$\delta(t)=\left\{ \begin{matrix} \infty &,t=0 \\ 0 &,t \ne 0 \end{matrix}\right. \\ \int^\infty_{-\infty} \delta(t)dt=1$$ 2022.08.29 - [.../Signals and Systems] - [SS] Impulse Function (Dirac Delta Function) [SS] Impulse Function (Dirac Delta Function) 다음과 같이 정의 되는 함수를 $\delta_\epsilon(t)$라고 하자. $$\delta..

0. Fourier Transform Table $x(t)$$X(\omega)$ 1$e^{-a t}u(t), a>0$$\frac{1}{a+j\omega}$ref.2$e^{a t} u(-t) , a>0$$\frac{1}{a-j\omega}$ 3$e^{-a \vert t\vert}, a>0$$\frac{2a}{a^2+\omega^2}$ 4$te^{-a t}u(t), a>0$$\frac{1}{ (a+j\omega)^2}$ 5$t^ne^{-a t}u(t), a>0$$\frac{n!}{ (a+j\omega)^{n+1}}$ 6$\delta(t)$$1$ref.7$1$$2\pi \delta(\omega)$ref.8$e^{j\omega_0t}$$2\pi \delta (\omega-\omega_0) $ref.9$\text..