Wavelet 변환: 신호 처리에서의 시간과 주파수의 세밀한 분석Wavelet 변환은 신호 처리와 데이터 분석의 중요한 수학적 도구임. $\sin, \cos$ 을 basis function으로 삼는 Fourier Transform 과 달리Wavelet 변환은평균이 0이고, 시간 및 공간에서 한정된 길이를 가진 파형 함수인 wavelet을 basis function 으로 삼는 변환임.'Wavelet'이라는 용어는 wave+-let 으로 '작은 파동'을 의미함.wave: 파동 / -let: 작다는 의미의 접미사더보기wavelet이 갖춰야 하는 특성은 다음과 같음:- compact support: 한정된 길이 for locality- vanishing at boundaries: 양쪽 끝이 0으로 수렴. for..

어떤 성질인가?$$x(t)e^{j\Omega_0}t \leftrightarrow X(\Omega-\Omega_0)$$$x(t)$ : time domain function$X( \Omega)$ : Fourier representation, Foruier Transform$\Omega_0$ : Frequency Shift (constant) Frequency Domain에서 $\Omega_0$ 만큼 shifting 시킬 경우,Time Domain에서는 $e^{j\Omega_0}t$가 곱해지게 된다. 증명$$\begin{aligned} \frac{1}{2\pi} \displaystyle \int^\infty_{-\infty} X(\Omega - \Omega_0)e^{j\Omega}t d\Omega &= \fr..

1. Aliasing을 피하기 위한 적절한 샘플수가 필요한 이유Signal을 sampling할 경우,sample의 갯수 $N$를 제한 (= signal의 길이가 제한)할 경우,대응하는 spectrum에서 aliasing이 발생하게 됨(신호의 측정시간이 고정된 경우 $N$을 클수록 보다 높은 주파수 성분을 획득할 수 있음.)signal에서 원하는 주파수대역 내에서는 aliasing이 일어나지 않도록 하는 것이 최선임.측정시간이 고정된 상태에서 실제 측정된 $N$을 크게 증가시킬수록 specturm이 중첩되는 부분은 줄어든다.단, 이 경우 샘플의 수 ($N$)가 늘어나서 계산량이나 저장공간 등이 늘어나는 등의 단점이 있으므로 적절한 길이 $N$이 필요함.2. zero-padding: Frequency Res..

Fourier representation(표현)!!signal을 frequency와 대응관계인 (complex)sinusoidal signal(복소정현파)의 weighted sum 으로 표현달리 말하면(complex)sinusoidal signal을 basis function으로 삼아이들의 linear combination으로 표현 Periodic signal은 Discrete spectrum, Aperiodic signal은 Continuous spectrum을 가짐Periodic signal의 spectrum은 Aperiodic signal의 spectrum의 샘플 값 (샘플링한 것)에 대응Continuous signal의 spectrum은 Aperiodic(비주기) 함수,Discrete signal..

1. DTFT 의 한계와 DFT의 등장.DTFT는 time domain의 continuous signal $x(t)$를discrete signal $x[n]$으로 바꾼 경우에 대한Fourier Transform으로CTFT에 time domain에서의 sampling을 고려한 확장이라고 볼 수 있다. 우선, DTFT의 공식은 다음과 같다.$$\begin{aligned}X(e^{j\omega})&=\sum^\infty_{n=-\infty} x[n] e^{-j\omega n} & \text{DTFT} \\ x[n]&=\dfrac{1}{2\pi}\int_{} X(e^{j\omega }) e^{j\omega n }d\omega & \text{IDTFT} \end{aligned}$$ 하지만 다음과 같은 한계를 가진..

1. DTFT란?DTFT는 Discrete signal $x[n]$을 위한 Fourier Transform 으로continuous signal에 대한 Fourier Transform $X(\Omega)$과 구분하기 위해$X(e^{j\omega})$ (= $X(\omega)$)로 표기함.Continuous signal $x(t)$를 $T$ 간격으로 sampling을 하고 얻은 $x_s(t)=x_s(nT)=x[n]$으로부터impulse train의 CTFT와$x_s(nT)=x[n]$을 이용하여 유도가능함.$$X(\Omega) = \int^\infty_{t=-\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt \quad \text{CTFT} \\ X(e^{j\omega})=\sum^\infty_{n=-\inft..