.../Signals and Systems

[SS] Signal이란?

Signal이란?정의Signal이란 Physical quantity(물리량)의 변화 형태(~물리적 현상)가 의미하는(담고있는) 일련의 정보를 구체화한 것정보는 Signal이 변화하는 양상 속에 담겨 있음 예 : 음성 Signal (고막에 가해지는 압력의 변화) , 온도Signal은 일반적으로 공기나 케이블과 같은 매체(media)를 통하여 전달되는 물리량임. 2023.06.16 - [.../Physics] - [Physics] Physical Quantity (물리량) [Physics] Physical Quantity (물리량)정의 Physical System (쉽게 말하면, 어떤 현상이나 물질)의 상태(state)를 기술하는 값. 어떤 물질(substance)의 성질 이나 상태 를 정량적으로 나타내는 ..

[SS] Signal의 정량적 특성

Signal을 수학적으로 보통 function으로 나타내는 것처럼, 해당 signal의 크기를 정량화 하는 것들을 signal의 정량적 특성 또는 정량적 표현이라고 할 수 있다. vector의 크기를 나타내는 것 : length (=L-2 norm) singal의 크기를 나타내는 것 : energy, power, rms value 등 가장 널리 사용되는 것들은 다음과 같음. Energy signal의 크기(정량적 표현)에 해당하며 가장 많이 사용됨. 해당 signal이 정량적으로 큰지 작은지를 비교할 때 사용됨. Continuous signal $x(t)$에 대한 energy $E$는 다음과 같음. $$E=\underset{T\to\infty}{\text{lim}} \displaystyle\int^{\f..

[SS] z-Transform : Zero, Pole, and ROC

z-Transform의 일반형은 다항식( polynomial)을 분자(numerator), 분모(denominator)로 가지는 분수 형태로 표현됨. $$ H(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{\displaystyle\sum^M_{m=0}b_m z^{-m}}{\displaystyle 1+\sum^N_{n=1}a_nz^{-n}} $$ 이 때, numerator polynomial을 0으로 만드는 $z$의 값들과 denominator polynomial를 0으로 만드는 z의 값들을 각각 zeros, poles라고 부름. Zero (영점): numerator polynomial(분자다항식)을 0으로 만드는 $z$를 가르킴. Pole (극점): denominator polynomial(분모다항식)..

[SS] z-Transform : Transfer function

z-Transform의 Transfer function 의 성질 z-Transform의 Transfer function $H(z)$은 다음을 만족함. $H(z)=\sum^\infty_{n=-\infty}h[n]z^{-n}$ $H(z)$는 impulse response $h[n]$의 z-Transform $y[n]=H(z)z^n$ impulse response가 $h[n]$인 LTI system에 $z^{n}$을 입력한 경우 출력이 $H(z)z^n$이 나옴. $H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}$ LTI system에서의 입력과 출력의 z-Transform들의 비(ratio). 이 중 2번의 경우를 조금 자세히 살펴보면 다음과 같음. Linear Transfer Invariant (LTI) Syste..

[SS] sinc function and sampling function

$k$에 대한 다음의 함수를 sampling func.[$\text{Sa}(x)$]과 sinc func.[$\text{sinc}(x)$]의 형태로 표기하시오. $$ \frac{1}{\pi k}\sin\left(\frac{\pi k \tau}{T}\right) $$ $T$, $\tau$는 모두 상수임.

[SS] ROC of z-Transform

Zero, Pole and ROC 2023.06.16 - [.../Signals and Systems] - [SS] z-Transform : Zero, Pole, and ROC [SS] z-Transform : Zero, Pole, and ROC z-Transform의 일반형은 다항식( polynomial)을 분자(numerator), 분모(denominator)로 가지는 분수 형태로 표현됨. $$ H(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{\displaystyle\sum^M_{m=0}b_m z^{-m}}{\displaystyle 1+\sum^N_{n=1}a_nz^{-n}} $$ 이 때, nu dsaint31.tistory.com Region of Convergence (ROC, 수렴영역) z-..

[SS] z-Transform : Introduction

1. z-Transform이란? Laplace Transform의 Discrete Version (or Generalization of DTFT) Continuous Time Signal과 System에서 Laplace Transform의 역할을 Discrete Time Signal과 Discrete Time System에서 담당. 수식적으로 보면, DTFT (Discrete Time Fourier Transform)을 일반화(Generalization)한 것임. DTFT는 z-Transform의 special case임. 이는 FT이 Laplace Transform의 special case인 것과 비슷함. DTFT가 존재하지 않는 discrete signal에서도 z-Transform은 가능함. 단 a..

[SS] Resolution of DFT

DFT의 경우 spectrum도 discrete하게 존재하기 때문에 spectrum에서의 sampling interval(실제 값을 가진 샘플의 간격)이 지나치게 넓을 경우, Picket Fence Effect로 인한 문제점 발생. (=너무 듬성듬성하게 샘플링하면 문제가 되는 것과 같음) DFT의 Picket Fence Effect → 스펙트럼 샘플의 간격이 넓으면 실제 스펙트럼의 모양을 파악하기 어려움. → 스펙트럼의 해상도 (spectrum resolution)가 중요함!!! DFT에 의한 스펙트럼 해상도 → $x[n]$의 샘플 수에 의존 ( $\langle 2\pi \rangle $구간 고정됨) Zero Padding 참고로, 만약 time domain에서 $N_1$개의 유효 데이터가 있는데, 주파..

[SS] Discrete Convolution (Linear Discrete Convolution)

Convolution은 linear time invariant (LTI) system에서 zero-state response를 구하는데 사용되는 연산임. DIP 등에서는 Linear Shift Invariant (LSI) system에서의 output image를 구하는데 사용되며, 주로 spatial domain filter들을 직접 spatial domain에서 구하는데 사용됨 (box filter, sobel filter등등) DFT (Discrete Fourier Transform)에서는 실제로 cyclic convolution이 이루어지나, 여기선 linear convolution에 초점을 맞춘다. 더보기 cyclic convolution(or circular convolution)은 다음을 참..

[SS] Circular Convolution

Circular Convolution이 필요한 이유. cyclic convolution이라고도 불림. DFT의 경우, frequency domain representation을 샘플링하므로, time domain representation도 periodic signal이 됨. 때문에 DFT에서 time domain에서 input signal x[n]과 impulse response h[n]을 convolution하여 zero-state response y[n]를 구하는 경우, 기존의 (linear) convolution이 아닌 circular convolution으로 구해야 DFT의 sampling으로 인해 time domain의 x[n]과 h[n]이 주기를 가지고 반복되게 된 점을 반영할 수 있음. c..