[SS] Differential Equation : 2nd Canonical Form
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다음과 같은 미분 방정식을 2nd canonical form으로 표현. $$\begin{aligned}(D^2+3D+2) y(t) &= D x(t)\end{aligned}$$ $D$ : 미분연산자. 우선 적분기를 사용하기 위해 미분연산자를 제거. $$D^{-2}[(D^2+3D+2) y(t)] = D^{-2}[D x(t)] \\ (1+3D^{-1}+2D^{-2}) y(t) = D^{-1} x(t)$$ 중간변수 $v(t)$를 도입. $$(1+3D^{-1}+2D^{-2}) y(t) = D^{-1} x(t) \\ y(t)=\frac{D^{-1}}{1+3D^{-1}+2D^{-2}} x(t) \\ y(t) = D^{-1} \frac{x(t)}{1+3D^{-1}+2D^{-2}} \\ y(t) = D^{-1} v(t)..
[SS] Causal LTI System and Convolution
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LTI system이 causal인 경우, impulse response $h(\tau)$는 $\taut$일 때 값이 0임. 때문에 Causal LTI System의 출력을 구하는 Convolution의 범위는 $(-\infty, \infty)$를 모두 처리할 필요 없음. 즉, $h(\tau)$와 $x(t-\tau)$의 곱이 값을 가지는 영역만 고려하면 된다.
[SS] Convolution Example : Pulse Function
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Pulse function $f(t)$ (blue)와 $g(t)$ (red)의 convolution을 보여주는 gif임. $g(t)$를 reflection시킨 후 slide을 시킴. 검은색 라인이 바로 $(f*g)(t)$의 결과를 보여줌. 둘다 unit pulse이므로 convolution의 결과는 노란색으로 표기된 겹치는 부분의 넓이가 됨. $$(f*g)(t) = \int^\infty_{-\infty} f(\tau) g(t-\tau) d\tau$$ 1. $t=-1$ 일 때 겹치기 시작하므로 이후 $(f*g)(t)$의 값이 0 보다 커짐. 2. $t=0$ 일 때 $g(t-\tau)$와 $f(\tau)$가 정확히 일치하므로 가장 큰 $(f*g)(t)$의 값을 가짐. 3. 이후 겹치는 영역이 줄어들므로 $(..
[SS] Convolution Op.에서 교환법칙 증명.
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$$\begin{aligned}y(t)&=x(t)*h(t)\\&=\int^\infty_{-\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \\ &=- \int^{-\infty}_\infty x(t-l)h(l) dl \quad\quad \leftarrow l=t-\tau \\ &=- \int^{-\infty}_\infty h(l) x(t-l)dl \\&=\int^{\infty}_{-\infty} h(l) x(t-l)dl\\&=\int^{\infty}_{-\infty} h(l) x(t-l)dl \quad\quad \leftarrow l\text{을 }\tau\text{로 표기 변경} \\ &=\int^{\infty}_{-\infty} h(\tau) x(t-\tau)d\tau \\&=h(t)*x(t)\en..
[SS] Output of LTI System : Convolution with Impulse Response
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LTI System $T$를 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다고 하자.$$y(t) = T\left\{x(t)\right\}$$where$x(t)$ : input signal에 해당하는 function.$y(t)$ : output signal에 해당하는 function.여기서,sifting property에 의해 impulse function들의 weighted sum으로 $x(t)$를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$x(t)=\int^\infty_{-\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$$2023.08.21 - [.../Signals and Systems] - [SS] Properties of Impulse Function [SS] Properties of Impulse Fun..
[SS] System의 종류 (3)
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Dynamic Systems and Instantaneous Systems https://bme808.blogspot.com/2022/10/dynamic-system.html SS : Dynamical Systems and Instantaneous Systems Dynamical System 특정 시간 $t$에서 System의 출력이 $t$이전의 과거의 입력과 출력에 영향을 받는 경우 , 해당 시스템을 dynamical system이라고 부름. Dynamical System (or Dynamic S... bme808.blogspot.com Lumped parameter system vs. distributed parameter system Lumped parameter system 구성 요소의 물리적 특..