.../Signals and Systems

[SS] Fourier Transform of Complex Exponential Function

Note: Time domain에서의 Complex Exponential Function의 곱(product)이 Frequency domain에서는 shift로 나타남. : Frequency Shifting. 다음과 같은 Complex Exponential Function의 Fourier Transform을 수행. $$e^{-j\Omega_0t}$$ Fourier Transform을 수행하면 다음과 같음. $$\begin {align*} \int^\infty_{-\infty} e^{-j\Omega_0 t} e^{-j\Omega t} \text{d}t &= \int^{\infty}_{-\infty} e ^{-j(\Omega_0+\Omega)t}\text{d}t\\ \quad &= \int^{\infty}_..

[SS] Fourier Transform of Real Exponential Function

다음과 같은 Real Exponential Function이 있다고 하자. $$b e^{-at} u(t), a>0$$ 해당 Real Exponential Function의 Fourier Transform은 다음과 같음. $$\begin {align} \int^\infty_{-\infty}b e^{-at} u(t)e^{-j\Omega t} \text{d}t &= b \int^{\infty}_{-\infty}u(t)e ^{-(a+j\Omega)t}\text{d}t\\ \quad &= b \int^{\infty}_{0}e ^{-(a+j\Omega)t}\text{d}t\\ \quad &= b \left [ \frac{e ^{-(a+j\Omega)t}}{-(a+j\Omega)}\right]^\infty_0\\ \..

[SS] Fourier Transform of sinc

sinc 함수의 FT는 Pulse에 대한 inverse Fourier Transform으로 증명하는게 가장 쉽다. 우선 다음과 같이 Pulse Signal에서 FT는 sinc 가 나온다. $$ \mathcal{F}\left[\text{Rect}\left(\frac{t}{\tau}\right)\right] = \tau \text{sinc} \left(\frac{\tau}{2\pi}\Omega\right)$$ 다음 그림은 $\text{Rect}_\tau(t)$을 나타낸다. pulse signal에 대한 FT이 sinc이므로, duality에 의해 sinc를 FT할 경우 pulse가 나오는 것을 예측할 수 있다. 즉, pulse signal을 inverse Fouriter transform하여 sinc가 나오..

[SS] Fourier Transform of Pulse Signal

다음은 pulse signal의 정의임. $$ x(t)=\left\{\begin{matrix}1, & |t|\le\frac{\tau}{2} \\ 0, & \text{otherwise} \end{matrix}\right.$$ Fourier Transform은 다음과 같음. $$\begin{aligned} X(\Omega)&=\int^\infty_{-\infty} x(t) e^{-j\Omega t} dt \\ &=\int^{\frac{\tau}{2}}_{-\frac{\tau}{2}} 1 e^{-j \Omega t} dt \\ &=\left. \frac{e^{-j\Omega t}}{-j\Omega} \right| ^{\frac{\tau}{2}} _{-\frac{\tau}{2}} \\ &= \frac{1}{-j..

[SS] Ch03 Quiz (정답포함)

다음의 sin, cos 및 이들의 선형조합들에 대한 Fourier Transform은 다음과 같음. 1. $\sin \omega_0 t$ $$\begin{aligned} \mathcal{FT}[\sin \omega_0 t] & = \int_{-\infty}^{\infty} \sin \omega_0 t e^{-j\Omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}}{2j} e^{-j\Omega t} dt \\ &= \frac{1}{2j} \left\{\int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega_0 t} e^{-j\Omega t} dt - \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\ome..

[SS] from CTFS to CTFT

Continuous Time Fourier Series (CTFS)에서 Continuous Time Fouier Transform(CTFT)을 유도하는데 핵심은 다음과 같음. CTFS가 주기신호(periodic signal)에 대해 적용이 되는 점을 이용하여, 주기($T$)가 무한대인 주기신호에 대해 CTFS를 구하면, CTFT가 얻어진다. 비주기신호를 "주기가 무한대인 주기신호"로 보고 유도한다. 주기 $T$를 무한대로 보낼 경우, $T$에 의해 결정되는 fundamental frequency $\Omega_0$와 harmonice $k\Omega_0$들도 변경이 되게 된다. 우선 $T$와 관련된 이들을 정리하면 다음과 같음. $$\Omega_0=\frac{2\pi}{T} \Rightarrow \fra..

[SS] Ch02 : 연습문제풀이

다음 2개 signal을 Conovlution한 결과를 그리시오. 이 문제에선 3개의 impulse signal에 대해 하나씩 만 고려하여 convolution을 하고, 이후 더하는 형태가 가장 쉽다. impulse의 특성상, 하나의 impulse와 convolution할 경우, 다음과 같이 impulse의 위치에 signal이 복사되는 형태로 결과가 나온다. 이들을 더하면 아래 그림과 같이 붉은 색 결과 signal이 나온다. 이를 numpy로 간단히 확인한 소스는 다음과 같다. import numpy as np import matplotlib as mb import matplotlib.pyplot as plt k = [0,-1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0] x = [1,3/4,1/2,1/4,0,..

[SS] Orthogonal Function : Complex Exponential Function

지수 함수 (정확히는 복소지수함수)는 대표적인 orthogonal function으로 Fourier transform의 basis로 사용이 된다. 구간 $T$에서 Orthogonal function인 경우, 해당 구간에서 inner product를 취할 때 자기자신과 inner product인 경우 외의 결과가 0임. 때문에 해당 함수의 coefficient를 쉽게 구할 수 있음: basis로 사용되는 이유. linearly independent만 만족한다면 basis가 될 수 있으나, 위의 성질 때문에 가급적 orthogonal을 만족하는 녀석들이 basis로 사용됨. 다음과 같은 Complex Exponential Function, $f_l(t)$와 $f_k(t)$이 있다고 하자. $$ f_l (t)..

[SS] Impulse Function (Dirac Delta Function)

다음과 같이 정의 되는 함수를 $\delta_\epsilon(t)$라고 하자. $$\delta_\epsilon( t ) =\left\{ \begin{matrix} 0 & ,t < -\frac { \varepsilon }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ \varepsilon } & ,-\frac { \varepsilon }{ 2 } \le t

[SS] Example : Sampling function and Sinc function.

$k$에 대한 다음의 함수를 sampling func.[$\text{Sa}(x)$]과 sinc func.[$\text{sinc}(x)$]의 형태로 표기하시오. $$ \frac{1}{\pi k}\sin\left(\frac{\pi k \tau}{T}\right) $$ $T$, $\tau$는 모두 상수임. https://youtu.be/czb5bHEiBaU