[SS] Differential Equation : 2nd Canonical Form

다음과 같은 미분 방정식을 2nd canonical form으로 표현.
$$\begin{aligned}(D^2+3D+2) y(t) &= D x(t)\end{aligned}$$

• $D$ : 미분연산자.

우선 적분기를 사용하기 위해 미분연산자를 제거.
$$D^{-2}[(D^2+3D+2) y(t)] = D^{-2}[D x(t)] \\ (1+3D^{-1}+2D^{-2}) y(t) = D^{-1} x(t)$$

중간변수 $v(t)$를 도입.
$$(1+3D^{-1}+2D^{-2}) y(t) = D^{-1} x(t) \\ y(t)=\frac{D^{-1}}{1+3D^{-1}+2D^{-2}} x(t) \\
y(t) = D^{-1} \frac{x(t)}{1+3D^{-1}+2D^{-2}} \\ y(t) = D^{-1} v(t)
$$

• $v(t)= \frac{x(t)}{1+3D^{-1}+2D^{-2}}$

이를 integrator, scalar multiplier, adder로 표현하면 다음과 같음.

$v(t)$를 $x(t)$로 표현 (1st canonical form과 유사)
$$ v(t)= \frac{x(t)}{1+3D^{-1}+2D^{-2}} \\ (1+3D^{-1}+2D^{-2})v(t) = x(t) \\
v(t)+ 3D^{-1}v(t) + 2D^{-2}v(t) = x(t) \\ v(t) = - 3D^{-1}v(t) - 2D^{-2}v(t) + x(t) $$

이를 integrator, scalar multiplier, adder로 표현하면 다음과 같음.

이를 결합하면 다음과 같은 2nd canonical form이 나옴.

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위의 미분방정식은 다음의 RLC circuit으로부터 유도된 것임. 

2023.08.22 - [.../Signals and Systems] - [SS] RLC Circuit & Differential Eq

[SS] RLC Circuit & Differential Eq