[SS] Differential Equation : 1st Canonical Form

Differential Equation은 3가지의 subsystem을 조합하여 구현할 수 있음.

1. adder : 흔히 입력이 2개의 signal이고 출력은 두 입력 singal들을 더한 signal임.
2. multiplier : scalar mulitplier로 승수가 scalar인 곱셈기. 입력 singal을 상수배하여 출력. 해당 상수배는 사전에 지정됨
3. integrator : 적분기로 적분이 수행되어 나옴. 입력이 $\dfrac{dx(t)}{dt}$ 인 경우, 출력이 $x(t)$로 적분되어 나옴.

 

위의 3가지 조합으로 differential equation을 기계적(?)으로 표현하는 방법을 canonical form이라고 부르는데, 이 문서는 그중에서 1st canonical form (다른 이름으로 direct form이라고도 불림)에 대해 다룬다.

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참고: canonical의 어원적 의미

• canonical은 원래 canon(규범, 교회법, 정전(正典))에서 파생된 단어임.
• 따라서 “공식적으로 정해진”, “권위 있는 규칙에 따른”, “정형화된”의 의미를 가짐.
• 즉 단순히 많이 쓰이거나 흔하다는 뜻이 아니라, 어떤 체계 속에서 유일하고 권위 있는 대표 형태를 뜻함.

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standard와의 차이

• standard:
  • "기준", "규격", "보편적으로 통용되는 것" 에 가까움.
  • 여러 standard가 공존 가능 (지역, 기관, 산업 마다 다를 수 있음)
  • 많이 쓰이는 규격이라는 성격이 강함.
• canonical:
  
  • 수학, cs 등에서는 "가장 단순하면서 본질적인 형태로 환원한 것" 을 의미.
  • 여러 representation에서도 하나의 "정해진" 대표 형태를 가리킴.
  • 표준형 이라고 번역되나 가끔 정준형 이라고도 번역됨.

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Example:

다음과 같은 미분 방정식을 1st canonical form으로 표현.
$$\begin{aligned}(D^2+3D+2) y(t) &= D x(t)\end{aligned}$$

• $D$ : 미분연산자.

우선 integrator를 사용하기 위해, differential equaiton에 미분연산자를 제거.
$$D^{-2}[(D^2+3D+2) y(t)] = D^{-2}[D x(t)] \\ (1+3D^{-1}+2D^{-2}) y(t) = D^{-1} x(t) \\ y(t) +3D^{-1}y(t)+2D^{-2}y(t)=D^{-1}x(t) $$

 

left side에 $y(t)$만 남기고 right side로 나머지를 이동시킴.

$$\begin{aligned}y(t) &= -3D^{-1}y(t)-2D^{-2}y(t)+D^{-1}x(t) \\ &= D^{-1}(x(t)-3y(t))+D^{-2}(-2y(t))\end{aligned}$$

 

이를 first canonical form으로 구현하면 다음과 같음.

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참고자료:

참고로 위의 미분방정식은 다음의 RLC circuit으로부터 유도된 것임. 

2023.08.22 - [.../Signals and Systems] - [SS] RLC Circuit & Differential Eq

[SS] RLC Circuit & Differential Eq

다음은 2nd canonical form임.

2023.08.22 - [.../Signals and Systems] - [SS] Differential Equation : 2nd Canonical Form

[SS] Differential Equation : 2nd Canonical Form

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