[SS] RLC Circuit & Differential Eq

다음의 RLC회로를 미분방정식으로 풀기

위의 회로에서 입출력 및 초기조건은 다음과 같음.

input : $x(t) = 10e^{-3t}u(t)$ (voltage)
output : $y(t)$ (current)
initial condition : $y(0)=0$, $V_c(0)=5$

• $u(t)$ : unit step function.

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1. Differential Equation

KVL에 의하여 다음이 성립

$$\begin{aligned}{ V }_{ L }+{ V }_{ R }+{ V }_{ C }=x\left( t \right) \\ 1\frac { dy\left( t \right) }{ dt } +3y\left( t \right) +{ \frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 2 } } }\int { y\left( t \right) dt } =x\left( t \right) \\ \frac { { d }^{ 2 }y\left( t \right) }{ d{ t }^{ 2 } } +3\frac { dy\left( t \right) }{ dt } +2y\left( t \right) =\frac { dx\left( t \right) }{ dt } \\ { D }^{ 2 }y\left( t \right) +3Dy\left( t \right) +2y\left( t \right) =Dx\left( t \right)\end{aligned}$$

• $D$ : 미분 연산자.

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2. Homogeneous solution

homogeneous solution을 구하기위해서 input signal을 0으로 하면 다음과 같음.

$$\begin{aligned} D^2 y \left( t \right) + 3D y \left( t \right) +2y \left( t \right) &=0 \\ \left\{ { D }^{ 2 }+3D+2 \right\} y\left( t \right) &=0 \end{aligned}$$

이를 characteristic equation으로 풀면 다음과 같음.
$${ D }^{ 2 }+3D+2=0 \\ \left( D+2 \right) \left( D+1 \right) =0 \\ \therefore { \lambda }_{ 1 }=-2,{ \lambda }_{ 2 }=-1$$

위 eigen value들로부터 구한 system mode로 이루어진 homogeneous sol.은 다음과 같음.

$$\begin{aligned}{ y }_{ h }\left( t \right) &= {C }_{ 1 }{ e }^{ { \lambda }_{ 1 }t }+{ C }_{ 2 }{ e }^{ { \lambda }_{ 2 }t } \\ &={C }_{ 1 }{ e }^{ -2t }+{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t } \end{aligned}$$

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3. Particular solution

input signal이 $10e^{−3t}u(t)$이므로 particular sol.은 다음과 같은 형태임.
$$
y_p\left(t\right)=Ce^{-3t}
$$

• $C$ : unknown constant.

이 particular sol.의 형태를 system의 미분방정식에 대입하여 풀면 다음과 같음.

$$\begin{aligned} \left\{ { D }^{ 2 }+3D+2 \right\} { y }_{ p }\left( t \right) &= \left\{ D \right\} 10{ e }^{ -3t } \\ \left[ 9C{ e }^{ -3t } \right] +3\left[ -3C{ e }^{ -3t } \right] +2\left[ C{ e }^{ -3t } \right] &= -3\cdot 10{ e }^{ -3t } \\ 2C{ e }^{ -3t } &= -30{ e }^{ -3t }\end{aligned} $$

$$ \therefore C=-15,\quad { y }_{ p }=-15{ e }^{ -3t } $$

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4. Complete solution

complete soluton $i(t)$는 다음과 같이 homogeneous solution과 particular solution의 합임.

$$\begin{aligned} y\left( t \right) &={ y }_{ h }+{ y }_{ p } \\&={ C }_{ 1 }{ e }^{ -2t }+{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }-15{ e }^{ -3t }\end{aligned}$$

이제, $C_1$과 $C_2$ 와 같은 모르는 상수의 값을 초기조건을 통해 구해야 함.

일단, 초기값 조건과 complete solution의 형태를 미분방정식에 대입.
$$\begin{aligned}{ V }_{ L }\left( 0 \right) +{ V }_{ R }\left( 0 \right) +{ V }_{ C }\left( 0 \right) &= x\left( 0 \right) \\ 1\frac { dy\left( 0 \right) }{ dt } +3y\left( 0 \right) +{ V }_{ C }\left( 0 \right)&= 10e^{-3\cdot0}\\ D\left( { C }_{ 1 }{ e }^{ -2t }+{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }-15{ e }^{ -3t } \right) |_{t=0}+3\cdot 0+5&=10\\ \left( -2{ C }_{ 1 }{ e }^{ -2t }-{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }+45{ e }^{ -2t } \right)| _{ t=0 }+5&=10\\ -2{ C }_{ 1 }-{ C }_{ 2 }+45+5&=10\\-2{ C }_{ 1 }-{ C }_{ 2 }&=-40 \end{aligned}$$

또한 $y(0)=0$을 통해 다음이 성립.
$$\begin{aligned}y\left( 0 \right) &= \left( C_1e^{-2t}+C_2e^{-t}-15e^{-3t} \right ) \rvert _{t=0} \\0&=C_1+C_2-15\end{aligned}$$

위 두 식으로부터 $C_1$과 $C_2$ 를 구할 수 있음.

$$\begin{aligned}-2C_1-C_2&=-40 \\ C_1 +C_2&=15 \end{aligned}\\ \quad \\ \therefore C_1=25, C_2=-10$$

즉, complete solution은 다음과 같음.
$$y\left( t \right) =25{ e }^{ -2t }-10{ e }^{ -t }-15{ e }^{ -3t }$$

 

2023.10.03 - [.../Signals and Systems] - [SS] System and Differential Equation

[SS] System and Differential Equation

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5. 여러 Response로 나누기

Complete solution은 다음과 같이 나눌 수 있음.

• Natural Response / Forced Response
• Zero-input Response / Zero-state Response
• Transient Response / Steady state Response

2023.10.02 - [.../Signals and Systems] - [SS] System Response

[SS] System Response

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5-1. Natural / Forced Response

여기서, natural response는 다음과 같음.
$$y_{\text{natural}}\left( t \right) =25{ e }^{ -2t }-10{ e }^{ -t }$$

forced response는 다음임.
$$y_{\text{forced}}\left( t \right) =-15{ e }^{ -3t }$$

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5-2. Zero-input / Zero-state Response

zero-input response/ zero-state response의 경우로 푼다면 다음과 같음.

zero-input response의 경우 input signal이 0이므로,
$$\begin{aligned}{ V }_{ L }\left( 0 \right) +{ V }_{ R }\left( 0 \right) +{ V }_{ C }\left( 0 \right) &= x\left( 0 \right)=0 \\ 1\frac { dy\left( 0 \right) }{ dt } +3y\left( 0 \right) +{ V }_{ C }\left( 0 \right) &= 0 \\ D\left( { C }_{ 1 }{ e }^{ -2t }+{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t } \right) \rvert_{ t=0 }+3\cdot 0+5 &= 0 \\ \left( -2{ C }_{ 1 }{ e }^{ -2t }-{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\right)\rvert_{ t=0 }+5 &= 0 \\ -2{ C }_{ 1 }-{ C }_{ 2 }+5 &= 0 \\ -2{ C }_{ 1 }-{ C }_{ 2 } &= -5\end{aligned}$$
이고,
$$\begin{aligned}y\left( 0 \right) &= \left(C_1e^{-2t}+C_2e^{-t} \right)\rvert_{t=0} \\ 0 &= C_1+C_2\end{aligned}$$

가 되어서

$C_1$과 $C_2$ 가 아래처럼 구해짐.

$$\begin{aligned}-2C_1-C_2&=-5\\ C_1 +C_2&=0\end{aligned} \\ \quad \\ \therefore C_1=5, C_2=-5$$

즉, zero-input response는 다음과 같음.
$$y_{\text{zero-input}}\left( t \right) =5{ e }^{ -2t }-5{ e }^{ -t }$$

zero-state response는 다음과 같음.
$$y_{\text{zero-state}}\left( t \right) =20{ e }^{ -2t }-5{ e }^{ -t }-15{ e }^{ -3t }$$

 

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5-3. Transient / Steady-state Response

$$y\left( t \right) =25{ e }^{ -2t }-10{ e }^{ -t }-15{ e }^{ -3t }$$

위의 complete solution에서 모든 term들이 decay가 되고 있기 때문에 다음으로 나뉘어짐.

Transient Response

$$y_{\text{transient}} = 25r^{-2t}-10e^{-t}-15e^{-3t}$$

Steady-state Response

$$y_{\text{steady}}=0$$

 

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더 읽어보면 좋은 자료

보통 미분방정식은 Laplace transform을 이용하여 구한다.

 

다음 URL은 input signal과 initial condition이 조금 다르긴 하지만,

미분방정식을 고전적 방법으로 푸는 방법과 Laplace transform으로 구하는 방법을 보여주고 있으니 참고할 것.

2023.08.22 - [.../Signals and Systems] - [SS] Differential Equation and Responses (zero-input, zero-state, natural, forced) w/o Laplace Transform

[SS] Differential Equation and Responses (zero-input, zero-state, natural, forced) w/o Laplace Transform

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