Discrete Unit Impulse Signal (Kronecker Delta Function)

https://x.com/TamasGorbe/status/1324033673285480448

Discrete Signal에서의 Impulse Signal

• index $n=0$ 일 때만 값이 1이고,
• 다르면 0이 되는 symmetric function임.

$$\delta[n] = \begin{cases} 1 & \text{if } n = 0 \\ 0 & \text{if } n \ne 0 \end{cases}$$

다음은 Shifted Kronecker Delta Function 임.
$$\delta[n-k] = \begin{cases} 1 & \text{if } n = k \\ 0 & \text{if } n \ne k \end{cases}$$

 

이는, 다음과 같이 기재되기도 함.
$$
\delta_{ij} =
\begin{cases}
1 & \text{if } i = j \\
0 & \text{if } i \ne j
\end{cases} \\
\text{ where } i, j \text{ are integer index.}
$$

Krnoecker Delta Function을 shift 시킨 것들을 모아놓은 집합이 바로
Discrete Sequence (이산 수열) 공간의 orthonomal basis임.

 

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성질

연속 임펄스 함수 $ \delta(t) $	이산 임펄스 함수 $ \delta[n] $
$ \underset{\varepsilon \to 0}{\lim} \delta_\varepsilon(t) = \infty,\quad t = 0 $	$ \delta[0] = 1 $
$ \underset{\varepsilon \to 0}{\lim} \delta_\varepsilon(t) = 0,\quad t \ne 0 $	$ \delta[n] = 0,\quad n \ne 0 $
$ \underset{\varepsilon \to 0}{\lim} \displaystyle \int_{-\varepsilon/2}^{\varepsilon/2} \delta_\varepsilon(t) dt = 1 $	$ \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n] = 1 $
$ \delta(at) = \dfrac{1}{\lvert a \rvert} \delta(t) $	$an \notin \mathbb{Z}$면 정의 불가. (이산에서는 일반적으로 $ \delta[an] $ 의미 없음)
$ \delta(t) = \delta(-t) $	$ \delta[n] = \delta[-n] $ (even function)

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Basis of Descrete Signal

All of the Discrete Signal (=discrete function) can be represented by the weighted sum of Kronecker Delta Function.

임의의 discrete signal $x[n]$은 다음과 같이 표현됨:
$$
x[n] = \sum^\infty_{k=-\infty} x[k] \delta [n-k]
$$

• Discrete signal은 결국 Discrete sequence임.
• 모든 Discrete Sequence는 Kronecker Delta Function의 Weighted Sum(=Linear Combination)으로 표현 가능함.

결국, 모든 discrete signal은 Kronecker Delta를 basis로 하는 linear combination으로 표현될 수 있음.
이는 모든 discrete signal은 Kronecker Delta 함수들을 basis function로 하는 벡터 공간 상의 함수로 해석될 수 있음을 의미함.

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Orthonormal Function과 Kronecker Delta

어떤 함수들의 집합 ${ \phi_i[n] }$가 이산 정의역에서 orthonormal이라면, 두 함수 $\phi_i[n]$와 $\phi_j[n]$의 내적(inner product)은 다음과 같은 관계를 만족함:

$$
\sum_n \phi_i[n] \cdot \phi_j[n] =
\begin{cases}
1 & \text{if } i = j \quad \text{(정규 직교: orthonormal)} \\
0 & \text{if } i \ne j \quad \text{(직교: orthogonal)}
\end{cases}
$$

이것을 간단히 표현하면:

$$
\sum_n \phi_i[n] \cdot \phi_j[n] = \delta[i-j]
$$

• 두 함수 $\phi_i[n]$, $\phi_j[n]$는 서로 직교(orthogonal)이면 inner product가 0
• 자기 자신과는 noraml(정규화) 조건이므로 inner product가 1
• orthonormal의 성질을 Kronecker delta 로 표현

Kronecker Delta 도 Orthonomal Function 임:
때문에 Discrete Signal Space에서의 orthonormal basis로 사용가능.

 

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결론

Continuous Signal에서의 Dirak Delta의 역할을 Discrete Signal에서는 Kronecker Delta가 함.

• $x(t) \rightarrow x[nT] \rightarrow x[n]$
• $\delta (t) \rightarrow \delta [n]$

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같이 보면 좋은 자료

2022.08.29 - [.../Signals and Systems] - [SS] Impulse Function (Dirac Delta Function)

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2023.10.04 - [.../Signals and Systems] - [SS] Orthogonal function: inner product가 0

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