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[Math] Variance and Standard Deviation: Measure of Dispersion

Variance and Standard Deviation: Measure of DispersionMeasure of Central Tendency, 즉 현재 sampel의 representation인 mean을 통해해당 sample의 모든 cases를 하나의 값으로 표현하는 경우,해당 representation이 sample의 각각의 cases를 얼마나 잘 기술하는지는해당 sample이 얼마나 중앙에 몰려있는지에 따라 결정됨.중앙에 몰려 있을수록 representation으로 mean의 의미가 커짐.만약 각 cases가 퍼져있는(spread, dispersion) 경우엔, mean으로 각각의 case를 예측하는 것이 쉽지 않음.때문에 sample에서 값의 분포(distribution)를 나타낼 때, 각각..

[LA] Linear Transformation

Transformation $\mathbb{R}^n$ (domain) 에서 $\mathbb{R}^m$ (codomain) 으로의 transformation (= function or mapping) $T$는 domain에 속하는 각각의 vector $\textbf{x}$를 codomain의 vector $T(\textbf{x})$에 대응시키는 규칙임. 이를 다음과 같이 표기함 $$T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$$ Transformation은 Function, System, Mapping, Model 등의 용어로 대체되거나 각각의 정의에 사용되는 경우가 많음. https://dsaint31.tistory.com/215 Function (함수) : 간략 정의 Function은 흔..

[LA] Determinant (행렬식)

Matrix는 일종의 Linear transform을 의미함. Linear transform을 의미하는 matrix 들 중에서, Square Matrix에서 구해지는 Determinant는 해당하는 Linear transform의 특성을 나타내는 scalar 임. square matrix가 의미하는 linear transform은 차원이 증가할 수 없음을 기억할 것. Determinant의 의미 Determinant가 의미하는 것은 크게 다음의 3가지임. Scale (or Volumne) Change. Determinant의 magnitude는 univectore들에 의한 n-dimentional unit volume이 Linear transform에 의해 얼마나 확대 또는 축소되는지를 나타냄. 0이 될..

[Math] Continuous 와 Differentiable 의 관계

Differentiable and Continuous Function $f(x)$가 $x=a$에서 미분 가능 ($p$) 하면 $f(x)$는 연속이다($q$). (← implication, 조건명제) $p \implies q$ 는 참(True)이나 이의 역인 $q \implies p$는 거짓(False)임. Example $f(x)=|x|$ : $x=0$에서 continuous하지만 미분가능하지 않음. Differentiable의 조건 (Scalar Function) Function(함수)가 Continuous(연속)이어야 함. 만약 continuous(연속)이라면 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 함. $$ \lim_{x \to a^-}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x \to a^+}..

[Math] Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions

다음이 기본적인 지수와 로그 함수의 도함수임. $$f(x)=e^x \rightarrow f^\prime(x)=e^x$$ $$f(x)=\log x \rightarrow f^\prime(x)=\frac{1}{x} $$ $$f(x)=a^x \rightarrow f^\prime(x)=a^x \log a$$ $$f(x)=\log_a x \rightarrow f^\prime(x)=\frac{1}{x\log a}$$ 2024.02.28 - [.../Math] - [Math] Limits of Log and Exponential Functions [Math] Limits of Log and Exponential Functions 대표적인 경우들은 다음과 같음. $$\underset{x\to 0}{\lim} \frac{..

[Math] Limits of Log and Exponential Functions

대표적인 경우들은 다음과 같음. $$\underset{x\to 0}{\lim} \frac{\log(1+x)}{x}=1$$ $$\underset{x\to 0}{\lim} \frac{\log_a(x+1)}{x} = \frac{1}{\log a}$$ $$\underset{x\to 0}{\lim} \frac{e^x -1}{x}=1$$ $$\underset{x\to 0}{\lim} \frac{a^x -1}{x}=\log a$$