Transformation
$\mathbb{R}^n$ (domain) 에서 $\mathbb{R}^m$ (codomain) 으로의
transformation (= function or mapping) $T$는
domain에 속하는 각각의 vector $\textbf{x}$를 codomain의 vector $T(\textbf{x})$에 대응시키는 규칙임.
이를 다음과 같이 표기함
$$T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$$
Transformation은 Function, System, Mapping, Model 등의 용어로 대체되거나 각각의 정의에 사용되는 경우가 많음.
https://dsaint31.tistory.com/215
Function (함수) : 간략 정의
Function은 흔히 mapping(사상), transformation(변환)이라는 용어로 불리기도 함. set으로 정의한다면, domain(정의역: 일종의 set)의 각 element에 대해 co-domain(공역: 역시 일종의 set)의 elements 중 오직 하나 로
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https://dsaint31.tistory.com/584
[SS] System 이란?
System이란 하나의 신호를 다른 신호로 매핑(mapping) 또는 변형(transform)하는 규칙 function of functions, transformation of functions 일련의 신호(입력)를 특정한 목적에 맞도록 조작하고 처리(교환, 변환, 가공,
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https://dsaint31.me/mkdocs_site/ML/ch00/ch00_33_what_is_model/
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Model이란? Model이란? It’s simply a specification of a mathematical (or probabilistic) relationship that exists between different variables. model은 쉽게 말해서, 다양한 variable 간의 수학적 혹은 (확률적) 관계를 표현한 것으
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Matrix Transformation
만약 모든 $\textbf{x} \in \mathbb{R}^n$에 대해 $T(\textbf{x})$가 $m \times n$ matrix $A$와 $\textbf{x}$의 곱인 $A\textbf{x}$로 나타내어진다면, 이를 Matrix Transform이라고 한다.
주의할 것은 transform $T$의 range 는 $A$의 columns의 linear combination의 집합이 된다는 점임.
(matrix와 vector의 곱과 linear combination의 정의를 살펴볼 것)
사실 뒤에 애기가 나오지만
모든 matrix transformation은 linear transformation임.
Linear Transformation
Additivity 와 Homogeneity가 성립하는 Transform으로 matrix transformation은 linear 함.
1. Additivity
$T(\textbf{u}+\textbf{v})=T(\textbf{u})+T(\textbf{v})$ for all $\textbf{u,v}$ in the domain of $T$.
2. Homogeneity
$T(c\textbf{u}) = cT(\textbf{u})$ for all scalar $c$ and all $\textbf{u}$ in the domain of $T$.
이 두 성질을 동시에 하나의 일반화된 식으로 다음과 같이 기술 가능함.
$$T(c_1\textbf{v}_1 + \cdots + c_p \textbf{v}_p) = c_1 T(\textbf{v}_1) + \cdots c_p T(\textbf{v}_p)$$
위의 식을 가르켜 superposition principle이라고도 부름.
The system satisfies the superposition principle if whenever an input is expressed as a linear combination of such signals, the system’s response is the same linear combination of the responses to the individual signals.
https://dsaint31.tistory.com/585
[SS] System의 종류 (1) : Coninuous, Linear
1. Continuous System & Discrete System Continuous System 입력과 출력이 연속 신호인 시스템 Discrete System 입력과 출력이 이산 신호인 시스템 2. Linear System & Non-linear system Linear system $\mathcal{T}\left\{ \quad \right\}$은
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Standard Matrix
모든 Linear Transform은 matrix transform이며 (역도 성립),
모든 linear transform은 각각에 해당하는 unique matrix $A$를 가지고 있음.
이같은 matrix를 standard matrix라고 부름.
Affine Transformation
linear transformation에 translation을 추가로 적용한 transformation.
$$T(\textbf{x})=A\textbf{x} +\textbf{b}$$
$A$ 는 linear transform의 standard matrix 이고, $\textbf{b}$ 가 바로 translation vector임.
- linear transform의 경우, origin은 이동하지 않는 특성을 가지나,
- affine transform은 origin을 $\textbf{b}$로 이동시킴.
즉, affine transform은
- linear transform의 모든 특성을 가지면서
- 추가로 translation(평행 이동)을 허용하여,
- origin이 이동할 수 있게 해줌.
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Homogeneous coordinate를 사용할 경우, linear transform으로 affine transform을 할 수 있음.
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DL 의 dense layer (or linear module)은 Affine transform을 수행함 (activation function이 identity function 인 경우.)
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