[LA] Linearly Independent and Affine Independent: Summary

선형 독립(Linear Independence):

• 대상: vector set
• 정의
  • 특정 vector set에 속한 vector 각각이 해당 vector set의 다른 vectors의 liner combination으로 (정확히) 표현될 수 없는 경우,
  • 해당 vector set을 linearly independent 라고 함.
  • 해당 vector set의 모든 vector들은 각각 자기 외의 다른 vectors로부터 파생될 수 없음.

Linearly independent란

해당 vector set의 모든 vector들이 서로에 대해 독립적으로 다른 vector들이 가지고 있지 않은 방향에 대한 정보를 가지고 있음을 의미.

2024.02.16 - [.../Math] - [LA] Linear Independence

[LA] Linear Independence

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Example 1

• vector $\mathbf{v}_1 = (1,0,0)$, $\mathbf{v}_2 = (0,1,0)$, $\mathbf{v}_3 = (0,0,1)$로 구성된
  vector set은 $\mathbb{R}^3$에서 서로 linearly independent.
• 각각 다른 축을 따라 방향을 가지고 있어, 어떤 vector도 다른 두 vector의 linear combination(선형 조합)으로 표현될 수 없음.

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Affine 독립(Affine Independence):

• 대상: point set (or point의 위치를 의미하는 position vector set.)
• 정의
  • 특정 point set에 속한 point 각각이 해당 point set의 다른 points의 affine combination으로 (정확히) 표현될 수 없는 경우,
  • 해당 point set을 affine independent라고 함.Affine independent란 특정 point set이 특정 affine space (점, 선, 면 등의 flat)을 '만들어내는' 데 필요한 최소한의 points로 구성되어 있음을 의미.

2024.02.16 - [.../Linear Algebra] - [LA] Affine Combination, Affine Hull and Affine Set

[LA] Affine Combination, Affine Hull and Affine Set

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Example 2

• Point $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(-1,-1,0)$ 로 구성된 point set은 $\mathbb{R}^3$에서 affinely independent.
• 이 세 points로 구성된 point set에서 어떤 point도 다른 두 point의 affine combination으로 표현될 수 없기 때문에, affinely independent.

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Linearly Independent 를 만족하는 vector set 은 vector space의 정의하게 됨(해당 vector set의 span이 vector space가 되고 이 vector set이 바로 basis가 됨)

반면, Affine Independent 를 만족하는 point set은 flat을 정의한다.

flat은 일종의 vector space에서의 subspace를 translation한 것으로 origin이 반드시 포함되는 vector subspace와 차이점을 가짐.

 

하나의 선형독립인 vector 가 line(원점을 지나는)을, 두개인 경우 plane(원점을 포함하는)을 정의하는 것과 달리,

두개의 point를 통해 line(원점을 지나지 않을 수 있음)을, 세 개의 affine independent인 points로 plane(원점을 지나지 않을 수 있음)을 정의함.

• 원점(origin)포함하는 line, plane등은 모든 vector subspace임.
• 원점(origin)을 포함하지 않는 line, plane은 vector subspace를 translation(수직,수평이동)한 것으로 이를 flat이라고 부름.

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Linearly Indepent와 Affine Indepent의 관계

linearly independent 인 vector set의 vector를 position vector로 하는 point set은 항상 affinely independent.

• linearly independent vector set에 속한 vector 들 각각을
• origin(원점)을 기준으로 하는 position vector로 해석하여
• 해당 vector set을 point set으로 처리할 경우,
• 해당 point set은 항상 affinely independent임.

예를 들어, $\mathbb{R}^3$ vector space에서 linearly independet vector set인

앞서 Example1의 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3$를 위치벡터로 해석하여 세 points로 구성된 point set을 고려할 경우,

이 point set은 항상 affinely independent임.

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affine independent 인 point set의 point를 position vector로 하는 vector set은 항상 linearly independent한 것은 아님 (상황에 따라 다름).

• Affine independent point set에서 유래된 vector set은,
• 즉, 해당 points의 position vectors로 구성된 경우,
• 해당 vector set은 linearly independent 또는 linearly dependent 중 하나임.

예를 들어 Exampel 2에서의
affine inidependent 인 point $A,B,C$에 해당하는 position vector로 구성된

vector set인 ${(1,0,0),(0,1,0),(−1,−1,0)}$은

$\mathbb{R}^3$에서 linearly dependent임.

• 이는 세 번째 벡터 $(-1,-1,0)$이 첫 번째와 두 번째 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있기 때문임
• $(-1,-1,0) = -1 \cdot (1,0,0) -1 \cdot (0,1,0)$

위 예시는 affine independent point set이 어떤 points로 구성되느냐에 따라 linearly dependent vector set로 구성될 수도 있음을 보여줌.

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차이

linear independence와 affine independence 사이의 중요한 차이는,

• linear independence가 vectors 의 관계에 초점을 맞춘 반면,
• affine independence는 points (or position vectors) 의 공간적 배치와 그로 인해 생성되는 고유한 구조(or flat)에 초점을 맞춤.

linear independence은 vector space의 dimension과 basis을 이해하는 데 중요한 개념이며,

affine independence은 affine space에서의 point set이 만들어내는 구조 (or flat)와 affinely independent한 points를 파악하는 데 중요함.

 

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